CG Board Class 9 Mathematics Chapter 13 Solutions: Geometrical Constructions (ज्यामितीय रचनाएँ) – 2026-27

No, it is not always possible to construct a triangle given three line segments. A triangle can only be constructed if the sum of the lengths of any two smaller sides is strictly greater than the length of the longest side.

No, a triangle cannot be constructed with these measurements.

Reason: Here, the two smaller sides are 2 cm and 3 cm, and the longest side is 6 cm.

Sum of two smaller sides = 2 + 3 = 5 cm.

Since 5 cm < 6 cm (sum of two sides is less than the third side), the arcs drawn from the endpoints will not intersect each other.

Rule: A triangle is possible only if sum of two smaller sides > longest side.

(i) 2 + 3 = 5 cm > 4 cm → Possible

(ii) 3 + 4 = 7 cm > 5 cm → Possible

(iii) 2 + 4 = 6 cm < 8 cm → Not Possible

(iv) 4 + 5 = 9 cm > 6 cm → Possible

Yes, △ACB is congruent (identical in shape and size) to △ABC constructed earlier. Changing the base side from AC to AB with the same included angle ∠A = 45° yields a unique triangle by SAS congruence rule.

Observation:** Here two sides and a non-included angle are given (SSA condition).

A unique triangle can be constructed only when two sides and the included angle (angle formed between them) are given.

(i) AB = 7 cm, AC = 6 cm, ∠C = 40° → Non-included angle (Not unique)

(ii) AB = 3 cm, BC = 4 cm, ∠A = 60° → Non-included angle (Not unique)

(iii) PR = 6 cm, PQ = 5 cm, ∠Q = 75° → Non-included angle (Not unique)

(iv) AB = 4.5 cm, AC = 6.3 cm, ∠A = 55° → Included angle ∠A (Unique triangle possible)

1. (i) & (ii): Both △PQR and △MNP have one angle equal to 90° and two acute angles (30° and 60°). Therefore, these are Right-Angled Triangles.
2. (i) Given base PQ = 3.5 cm, ∠Q = 45°, ∠R = 50°. Third angle ∠P = 180° – (45° + 50°) = 85°. Since we can find both base angles ∠P and ∠Q, construction is possible.

(ii) Given base XY = 7.5 cm, ∠Z = 70°, ∠Y = 40°. Third angle ∠X = 180° – (70° + 40°) = 70°. Since base angles ∠X and ∠Y are known, construction is possible.

Yes, on measuring the constructed △ABC (where PQ = 10.5 cm was taken as perimeter), the sum of sides AB + BC + CA is exactly equal to 10.5 cm.

Yes, rectangles and squares can be constructed using diagonal properties:

Question 2 (Square): Construct a square whose diagonals are of length 5 cm and bisect each other at right angles (90°).

हिंदी माध्यम:

हाँ, विकर्णों के गुणों का उपयोग करके आयत और वर्ग की रचना की जा सकती है:

प्रश्न 1 (आयत): एक आयत की रचना कीजिए जिसके विकर्णों की लंबाई 6 सेमी है और वे 60° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रश्न 2 (वर्ग): एक वर्ग की रचना कीजिए जिसके विकर्णों की लंबाई 5 सेमी है और वे एक-दूसरे को समकोण (90°) पर समद्विभाजित करते हैं।

### सोचिए और चर्चा कीजिए – पृष्ठ 270

In the construction, line CE was drawn parallel to diagonal BD.

△CDE and △BDE lie on the same base BD and between the same parallel lines BD and CE.

Therefore, Area(△CDE) = Area(△BDE).

Adding Area(△ABD) to both sides:

Area(△ABD) + Area(△CDE) = Area(△ABD) + Area(△BDE)

⇒ Area(Quadrilateral ABCD) = Area(△ADE).

Yes, the angle subtended at the centre by each side of a regular polygon of n sides is equal to 360° / n. Since the total central angle around a point is 360°, dividing the circle into n equal parts gives 360° / n for each side.

(i) △DEF Construction:**

(ii) △PQR Construction:

(iii) △ABC Construction:

1. Draw base BC = 4 cm.
2. At point B, construct a ray BX perpendicular to BC (∠CBX = 90°).
3. From ray BX, cut an arc BD = 8 cm (sum of remaining sides).
4. Join CD.
5. Draw the perpendicular bisector of line segment CD, which intersects BD at point A.
6. Join AC. Thus, △ABC is the required right-angled triangle.
7. आधार BC = 4 सेमी खींचिए।
8. बिंदु B पर BC के लंबवत किरण BX खींचिए (∠CBX = 90°)।
9. किरण BX में से शेष भुजाओं का योग BD = 8 सेमी काटिए।
10. CD को मिलाइए।
11. रेखाखंड CD का लंब समद्विभाजक खींचिए जो BD को बिंदु A पर काटता है।
12. AC को मिलाइए। इस प्रकार अभीष्ट समकोण त्रिभुज △ABC प्राप्त होता है।

1. Draw base QR = 7 cm.
2. At point Q, construct ∠XQR = 45°.
3. From ray QX, cut a segment QD = 2 cm (difference PQ – PR).
4. Join DR.
5. Draw the perpendicular bisector of DR intersecting ray QX at point P.
6. Join PR. Thus, △PQR is the required triangle.
7. आधार QR = 7 सेमी खींचिए।
8. बिंदु Q पर ∠XQR = 45° का कोण बनाइए।
9. किरण QX से अंतर QD = 2 सेमी का चाप काटिए।
10. DR को मिलाइए।
11. DR का लंब समद्विभाजक खींचिए जो किरण QX को बिंदु P पर काटता है।
12. PR को मिलाइए। इस प्रकार अभीष्ट △PQR प्राप्त होता है।

1. Draw base YZ = 5 cm.
2. At point Y, construct ∠ZYW = 50° and extend ray YW backward as YK.
3. From extended ray YK, cut YD = 2.5 cm (since XZ > XY).
4. Join DZ.
5. Draw the perpendicular bisector of DZ intersecting ray YW at point X.
6. Join XZ. Thus, △XYZ is the required triangle.
7. आधार YZ = 5 सेमी खींचिए।
8. बिंदु Y पर ∠ZYW = 50° बनाइए और किरण YW को विपरीत दिशा YK में बढ़ाइए।
9. विपरीत किरण YK से YD = 2.5 सेमी काटिए (चूँकि XZ > XY)।
10. DZ को मिलाइए।
11. DZ का लंब समद्विभाजक खींचिए जो किरण YW को बिंदु X पर काटता है।
12. XZ को मिलाइए। इस प्रकार अभीष्ट △XYZ प्राप्त होता है।

1. Draw a line segment XY = 13 cm (perimeter).
2. At X, construct an angle of 45° / 2 = 22.5°.
3. At Y, construct an angle of 70° / 2 = 35°.
4. Let the intersection point of these two angle bisector rays be A.
5. Draw perpendicular bisector of AX bisecting XY at B, and perpendicular bisector of AY bisecting XY at C.
6. Join AB and AC. Thus, △ABC is the required triangle.
7. रेखाखंड XY = 13 सेमी खींचिए (कुल परिमाप)।
8. बिंदु X पर 45° / 2 = 22.5° का कोण बनाइए।
9. बिंदु Y पर 70° / 2 = 35° का कोण बनाइए।
10. दोनों कोणों के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु A अंकित कीजिए।
11. AX का लंब समद्विभाजक खींचिए जो XY को B पर काटे, तथा AY का लंब समद्विभाजक खींचिए जो XY को C पर काटे।
12. AB और AC को मिलाइए। इस प्रकार अभीष्ट △ABC प्राप्त होता है।

1. Draw line segment AB = 6 cm.
2. At point A, draw ray AX making ∠BAX = 65°.
3. Cut an arc AD = 4 cm on ray AX to locate point D.
4. With D as centre and radius 6 cm, draw an arc. With B as centre and radius 4 cm, draw another arc intersecting at C.
5. Join BC and CD. Parallelogram ABCD is constructed.
6. रेखाखंड AB = 6 सेमी खींचिए।
7. बिंदु A पर ∠BAX = 65° बनाती हुई किरण AX खींचिए।
8. किरण AX से AD = 4 सेमी का चाप काटकर बिंदु D प्राप्त कीजिए।
9. D को केंद्र मानकर 6 सेमी तथा B को केंद्र मानकर 4 सेमी का चाप लगाइए जो C पर काटते हैं।
10. BC और CD को मिलाइए। अभीष्ट समांतर चतुर्भुज ABCD निर्मित हुआ।

1. Draw base AB = 4 cm.
2. With A as centre and radius 4.5 cm (diagonal AC), draw an arc. With B as centre and radius 3 cm (side BC = AD), draw an arc intersecting at C. Join AC and BC to form △ABC.
3. With C as centre and radius 4 cm (CD = AB), draw an arc. With A as centre and radius 3 cm (AD), draw an arc intersecting at D.
4. Join AD and CD. Parallelogram ABCD is constructed.
5. आधार AB = 4 सेमी खींचिए।
6. A को केंद्र मानकर 4.5 सेमी (विकर्ण AC) का तथा B को केंद्र मानकर 3 सेमी (भुजा BC = AD) का चाप लगाइए जो C पर काटते हैं। AC और BC को मिलाकर △ABC बनाइए।
7. C को केंद्र मानकर 4 सेमी तथा A को केंद्र मानकर 3 सेमी का चाप लगाकर D प्राप्त कीजिए।
8. AD और CD को मिलाइए। अभीष्ट समांतर चतुर्भुज ABCD प्राप्त हुआ।

1. Draw side AB = 3 cm.
2. At point A, draw ray AX perpendicular to AB (∠BAX = 90°).
3. With B as centre and radius 5 cm (diagonal), draw an arc cutting ray AX at point D.
4. With D as centre and radius 3 cm, draw an arc; with B as centre and radius AD, draw an arc intersecting at C.
5. Join BC and CD. Rectangle ABCD is constructed.
6. भुजा AB = 3 सेमी खींचिए।
7. बिंदु A पर AB के लंबवत किरण AX खींचिए (∠BAX = 90°)।
8. B को केंद्र मानकर 5 सेमी (विकर्ण) त्रिज्या का चाप किरण AX पर D पर काटिए।
9. D को केंद्र मानकर 3 सेमी तथा B को केंद्र मानकर AD के बराबर त्रिज्या का चाप लगाकर C प्राप्त कीजिए।
10. BC और CD को मिलाइए। अभीष्ट आयत ABCD प्राप्त हुआ।

1. Draw diagonal AC = 6 cm.
2. Draw the perpendicular bisector LM of AC intersecting AC at midpoint O.
3. From O, cut arcs of radius 4.5 cm / 2 = 2.25 cm on both sides of line LM to mark points B and D.
4. Join AB, BC, CD, and DA. Rhombus ABCD is constructed.
5. विकर्ण AC = 6 सेमी खींचिए।
6. AC का लंब समद्विभाजक LM खींचिए जो AC को मध्य बिंदु O पर काटता है।
7. O से रेखा LM के दोनों ओर 4.5 सेमी / 2 = 2.25 सेमी के चाप काटकर बिंदु B और D अंकित कीजिए।
8. AB, BC, CD और DA को मिलाइए। अभीष्ट समचतुर्भुज ABCD निर्मित हुआ।

1. Draw line segment AB = 5 cm.
2. Draw a line PQ parallel to AB at a perpendicular distance of 2.5 cm.
3. With A as centre and radius 3.5 cm, cut an arc on line PQ to locate D.
4. With B as centre and radius 3 cm, cut an arc on line PQ to locate C.
5. Join AD, BC, and CD. Trapezium ABCD is constructed.
6. रेखाखंड AB = 5 सेमी खींचिए।
7. AB से 2.5 सेमी की लंबवत दूरी पर एक समांतर रेखा PQ खींचिए।
8. A को केंद्र मानकर 3.5 सेमी त्रिज्या का चाप रेखा PQ पर काटकर D प्राप्त कीजिए।
9. B को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का चाप रेखा PQ पर काटकर C प्राप्त कीजिए।
10. AD, BC और CD को मिलाइए। अभीष्ट समलंब चतुर्भुज ABCD निर्मित हुआ।

1. Draw base AB = 5 cm. At B, draw perpendicular ray BY. On BY, cut BC = 6 cm.
2. At C, construct ∠BCZ = 90°. Cut CD = 7 cm on CZ. Join AD to get quadrilateral ABCD.
3. Join diagonal BD.
4. From point C, draw a line CE parallel to diagonal BD intersecting extended line AB at point E.
5. Join DE. △ADE is the required triangle whose area is equal to Quadrilateral ABCD.
6. आधार AB = 5 सेमी खींचिए। B पर लंब किरण BY खींचकर BC = 6 सेमी काटिए।
7. C पर ∠BCZ = 90° बनाकर CD = 7 सेमी काटिए। AD को मिलाकर चतुर्भुज ABCD बनाइए।
8. विकर्ण BD को मिलाइए।
9. बिंदु C से विकर्ण BD के समांतर एक रेखा CE खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा AB को बिंदु E पर काटती है।
10. DE को मिलाइए। △ADE अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल चतुर्भुज ABCD के बराबर है।

1. Construct rhombus ABCD with side 6 cm and ∠A = 60°.
2. Join diagonal BD.
3. From C, draw a line parallel to BD intersecting extended base AB at point E.
4. Join DE. Thus, △ADE is the required triangle having area equal to rhombus ABCD.
5. भुजा 6 सेमी तथा ∠A = 60° लेकर समचतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए।
6. विकर्ण BD को मिलाइए।
7. C से BD के समांतर रेखा खींचिए जो बढ़ाए गए आधार AB को बिंदु E पर काटे।
8. DE को मिलाइए। इस प्रकार △ADE अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल समचतुर्भुज ABCD के बराबर है।

1. Draw base AB = 6 cm. At A and B, draw angles of 70° intersecting at C to form isosceles △ABC.
2. Draw ray CY parallel to AB.
3. Draw perpendicular bisector PQ of AB bisecting AB at midpoint O.
4. For Parallelogram: From O, draw OD || AC intersecting CY at D. AODC is the required parallelogram.
5. For Rectangle: The perpendiculars from O and B to line CY form the rectangle equal in area to △ABC.
6. आधार AB = 6 सेमी खींचिए। A और B पर 70° का कोण बनाकर प्रतिच्छेद बिंदु C से समद्विबाहु △ABC प्राप्त कीजिए।
7. C से AB के समांतर किरण CY खींचिए।
8. AB का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए जो AB को मध्य बिंदु O पर काटता है।
9. समांतर चतुर्भुज हेतु: O से OD || AC खींचिए जो CY को D पर काटे। AODC अभीष्ट समांतर चतुर्भुज है।
10. आयत हेतु: O और B से रेखा CY पर लंब खींचने पर अभीष्ट आयत प्राप्त होता है जिसका क्षेत्रफल △ABC के बराबर है।

1. Draw base PQ = 8 cm. At P, draw ∠QPX = 65° and cut PR = 6 cm. Join QR to form △PQR.
2. From R, draw ray RY parallel to PQ.
3. Draw perpendicular bisector of base PQ bisecting PQ at midpoint O.
4. At O, construct line OD parallel to PR intersecting ray RY at D.
5. PODR is the required parallelogram equal in area to △PQR.
6. आधार PQ = 8 सेमी खींचिए। P पर ∠QPX = 65° बनाकर PR = 6 सेमी काटिए। QR को मिलाकर △PQR बनाइए।
7. R से PQ के समांतर किरण RY खींचिए।
8. आधार PQ का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्य बिंदु O प्राप्त कीजिए।
9. O से PR के समांतर रेखा OD खींचिए जो किरण RY को D पर काटे।
10. अभीष्ट समांतर चतुर्भुज PODR प्राप्त होता है जिसका क्षेत्रफल △PQR के बराबर है।

1. Draw a circle with centre O and radius 2 cm.
2. Draw a diameter AC.
3. Draw perpendicular bisector of AC to get another diameter BD.
4. Join AB, BC, CD, and DA. Square ABCD is the required inscribed regular quadrilateral.
5. O को केंद्र मानकर 2 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
6. व्यास AC खींचिए।
7. AC का लंब समद्विभाजक खींचकर दूसरा व्यास BD प्राप्त कीजिए।
8. AB, BC, CD और DA को मिलाइए। अभीष्ट अंतर्गत समचतुर्भुज (वर्ग) ABCD प्राप्त हुआ।

1. Central angle for regular octagon = 360° / 8 = 45°.
2. Draw a circle with centre O and radius 3 cm.
3. Draw radius OA. Draw ∠AOB = 45° at centre O intersecting circle at B.
4. Measure arc AB and mark successive points C, D, E, F, G, H on circumference.
5. Join AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA to get required inscribed octagon.
6. समअष्टभुज का केंद्रीय कोण = 360° / 8 = 45°।
7. O को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
8. त्रिज्या OA खींचिए। O पर ∠AOB = 45° का कोण बनाकर वृत्त पर B प्राप्त कीजिए।
9. चाप AB की माप लेकर वृत्त की परिधि पर बिंदु C, D, E, F, G, H अंकित कीजिए।
10. AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA को मिलाइए। अभीष्ट अंतर्गत समअष्टभुज प्राप्त हुआ।

1. Central angle for regular pentagon = 360° / 5 = 72°.
2. Draw a circle of radius 2.5 cm with centre O.
3. Draw 5 radii OA, OB, OC, OD, OE at central angles of 72° each.
4. Draw perpendicular tangent lines at points A, B, C, D, and E on the circumference.
5. The intersection points of these tangents form the required circumscribed regular pentagon.
6. समपंचभुज का केंद्रीय कोण = 360° / 5 = 72°।
7. O को केंद्र मानकर 2.5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
8. केंद्र पर 72° के कोणों पर 5 त्रिज्याएँ OA, OB, OC, OD, OE खींचिए।
9. बिंदु A, B, C, D, E पर परिधि पर स्पर्श (लंब) रेखाएँ खींचिए।
10. इन स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदुओं से अभीष्ट परिगत समपंचभुज प्राप्त होता है।

1. Central angle for regular octagon = 360° / 8 = 45°.
2. Draw a circle of radius 3 cm with centre O.
3. Draw 8 radii OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH making central angles of 45° each.
4. At each endpoint on the circumference, draw perpendicular tangent lines.
5. The intersection of these 8 tangent lines forms the required circumscribed regular octagon.
6. समअष्टभुज का केंद्रीय कोण = 360° / 8 = 45°।
7. O को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
8. केंद्र पर 45° के कोण बनाती हुई 8 त्रिज्याएँ OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH खींचिए।
9. परिधि के प्रत्येक बिंदु पर लंब स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
10. इन 8 स्पर्श रेखाओं के परस्पर प्रतिच्छेदन से अभीष्ट परिगत समअष्टभुज निर्मित होता है।

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