Class 8 Maths Chapter 4 in Hindi PDF: चतुर्भुज (गणित प्रकाश)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 4, चतुर्भुज: यह अध्याय आयत, वर्ग, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, पतंग और समलंब जैसे विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों के गुणों, रचनाओं और आपसी संबंधों के बारे में है। इसमें यूरोप के बढ़ई और मोज़ाम्बिक (अफ्रीका) के किसानों द्वारा घर बनाने में 8 सेमी की लकड़ी की पट्टिकाओं और धागे के प्रयोग, जियोबोर्ड पर रबड़ बैंड, कार्डबोर्ड कटआउट्स जोड़ने तथा कागज़ मोड़ने जैसी गतिविधियों का वर्णन किया गया है।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 4 (चतुर्भुज): मुख्य बिंदु

4.1 आयत, वर्ग और बढ़ई की समस्या यूरोप के बढ़ई और मोज़ाम्बिक के किसान 8 सेंटीमीटर की दो पट्टियों को मध्य-बिंदु पर जोड़कर और छोरों पर धागा बाँधकर आयताकार ढाँचा बनाते हैं। आयत के सभी कोण 90° होते हैं तथा इसके विकर्ण बराबर होकर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, जबकि वर्ग के विकर्ण 90° पर समद्विभाजित करते हैं और शीर्ष कोणों को भी आधा करते हैं।

4.2 चतुर्भुज के कोण किसी चतुर्भुज SOME को विकर्ण SM द्वारा दो त्रिभुजों ∆SEM और ∆SOM में बाँटकर उनके छहों कोणों का योग 180° + 180° = 360° सिद्ध किया जाता है। यही कारण है कि किसी चतुर्भुज में तीन कोण समकोण (90°) और चौथा कोण असमुचित या गैर-समकोण होना असंभव है।

4.3 समांतर चतुर्भुज के गुण 4 सेंटीमीटर और 5 सेंटीमीटर आसन्न भुजाओं तथा 30° कोण वाले समांतर चतुर्भुज ABCD की रचना में त्रिभुज ∆ABD ≅ ∆CDB की सर्वांगसमता से सम्मुख भुजाएँ बराबर सिद्ध होती हैं। समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं, आसन्न कोणों का योग 180° होता है तथा विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

4.4 व 4.5 समचतुर्भुज, पतंग तथा जियोबोर्ड गतिविधियाँ समचतुर्भुज GAME के विकर्ण परस्पर 90° पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा पतंग ABCD में आसन्न भुजाएँ समान (जैसे 6 सेमी, 9 सेमी) होती हैं और विकर्ण AC व BD लंबवत होते हैं। विद्यार्थी जियोबोर्ड पर रबड़ बैंड खिंचाव और कार्डबोर्ड त्रिभुजों (8 सेमी, 6 सेमी, 12 सेमी) को जोड़कर विभिन्न चतुर्भुज बनाते हैं।

अध्याय 4 के अभ्यास

• ‘आइए, पता लगाएँ’ अभ्यास में छात्र वृत्त के दो परस्पर लंबवत व्यासों PL और AM के छोरों को जोड़कर बनने वाली आकृति APML के प्रकार की पहचान करते हैं।
• विद्यार्थी जियोबोर्ड पर समान लंबाई के दो रबड़ बैंडों को लंबवत रखकर उनके सिरों को जोड़ते हैं और किसी एक विकर्ण को दोनों ओर 2 सेमी बढ़ाकर बनने वाले चतुर्भुज की जाँच करते हैं।
• ‘पहेली का समय! कौन-सा चौकोर?’ खेल में छात्र कागज़ को एक-चौथाई मोड़कर कोने पर त्रिकोण काटकर खोलते हैं और बनने वाले मोड़ के चिह्नों व आकारों का अध्ययन करते हैं।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 4 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. माना O केंद्र वाले एक वृत्त के दो व्यास PL और AM परस्पर लंबवत हैं। बताइए कि APML किस प्रकार की आकृति है?
उत्तर: वृत्त के व्यास बराबर लंबाई के होते हैं, अतः विकर्ण PL = AM
दोनों व्यास केंद्र O पर परस्पर लंबवत (90°) प्रतिच्छेद और समद्विभाजित करते हैं
जिस चतुर्भुज के विकर्ण समान हों और 90° पर समद्विभाजित करते हों वह वर्ग होता है
उत्तर: वर्ग।

प्रश्न 2. क्या किसी चतुर्भुज के तीन कोण समकोण (90°) और चौथा कोण समकोण न होना संभव है?
उत्तर: चतुर्भुज के चारों अंतः कोणों का योगफल 360° होता है
यदि तीन कोण 90° हों, तो चौथा कोण = 360° – (90° + 90° + 90°) = 360° – 270° = 90°
अतः चौथा कोण 90° न होना असंभव है
उत्तर: नहीं, ऐसा चतुर्भुज संभव नहीं है।

प्रश्न 3. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में आसन्न भुजाएँ 4 सेमी व 5 सेमी हैं तथा कोण A = 30° है। इसके शेष तीनों कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है, अतः ∠B = 180° – 30° = 150°
सम्मुख कोण बराबर होते हैं, अतः ∠C = ∠A = 30° तथा ∠D = ∠B = 150°
उत्तर: ∠B = 150°, ∠C = 30°, ∠D = 150°।

प्रश्न 4. यदि किसी समचतुर्भुज ABCD में कोण A = 50° है, तो इसके शेष तीनों कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसके सम्मुख कोण समान और आसन्न कोणों का योग 180° होता है
∠C = ∠A = 50°
∠B = 180° – 50° = 130°
∠D = ∠B = 130°
उत्तर: ∠B = 130°, ∠C = 50°, ∠D = 130°।

प्रश्न 5. समांतर चतुर्भुज PQRS में यदि ∠P = 110° है, तो इसके शेष कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण समान तथा आसन्न कोण संपूरक (योग 180°) होते हैं
∠R = ∠P = 110°
∠Q = 180° – 110° = 70°
∠S = ∠Q = 70°
उत्तर: ∠Q = 70°, ∠R = 110°, ∠S = 70°।

प्रश्न 6. 4 सेमी भुजा वाले दो समबाहु त्रिभुजों को एक उभयनिष्ठ भुजा के अनुदिश जोड़ने पर बने चतुर्भुज की भुजाएँ और कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: प्राप्त चतुर्भुज की चारों भुजाएँ समान (4 सेमी) होंगी
इसके दो सम्मुख कोण समबाहु त्रिभुज के कोणों (60°) के बराबर होंगे तथा अन्य दो कोण 60° + 60° = 120° होंगे
उत्तर: चारों भुजाएँ = 4 सेमी, कोण = 60°, 120°, 60°, 120°।

प्रश्न 7. एक समलंब चतुर्भुज PQRS (जहाँ PQ || SR) में यदि आधार कोण ∠P = 105° और ∠Q = 135° हैं, तो शेष कोणों ∠S और ∠R के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समलंब चतुर्भुज में समांतर रेखाओं के बीच एक ही ओर बने अंतः कोणों का योग 180° होता है
∠S = 180° – ∠P = 180° – 105° = 75°
∠R = 180° – ∠Q = 180° – 135° = 45°
उत्तर: ∠S = 75°, ∠R = 45°।

प्रश्न 8. (i) वह कौन-सा चतुर्भुज है जो पतंग और समांतर चतुर्भुज दोनों है? (ii) कौन-सा चतुर्भुज एक पतंग और एक आयत दोनों है?
उत्तर: (i) समचतुर्भुज में आसन्न भुजाएँ समान (पतंग का गुण) और सम्मुख भुजाएँ समांतर (समांतर चतुर्भुज का गुण) होती हैं
(ii) वर्ग में आसन्न भुजाएँ समान (पतंग) और प्रत्येक कोण 90° (आयत) होता है
उत्तर: (i) समचतुर्भुज (या वर्ग), (ii) वर्ग।

प्रश्न 9. यदि किसी चतुर्भुज की चारों भुजाएँ समान हों और एक कोण 90° का हो, तो क्या यह एक वर्ग होगा?
उत्तर: चारों भुजाएँ समान होने पर वह समचतुर्भुज होता है तथा सम्मुख कोण समान होने से उसका सम्मुख कोण भी 90° होगा
आसन्न कोणों का योग 180° होने से अन्य दो कोण भी 180° – 90° = 90° होंगे
सभी भुजाएँ समान और चारों कोण 90° होने के कारण यह वर्ग है
उत्तर: हाँ, यह निश्चित रूप से एक वर्ग होगा।

प्रश्न 10. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य: (i) एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण समान लंबाई के हों और परस्पर समद्विभाजित करते हों वह निश्चित ही वर्ग होगा। (ii) एक चतुर्भुज जिसके तीन कोण समकोण हैं निश्चित ही एक आयत है।
उत्तर: (i) असत्य, क्योंकि यह आयत का गुण है (वर्ग के लिए विकर्णों का 90° पर होना भी आवश्यक है)
(ii) सत्य, क्योंकि चौथा कोण = 360° – 270° = 90° होगा और सभी कोण 90° वाला चतुर्भुज आयत होता है
उत्तर: (i) असत्य, (ii) सत्य।

प्रश्न 11. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य: (i) एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं निश्चित ही एक समांतर चतुर्भुज है। (ii) एक चतुर्भुज जिसमें सम्मुख कोण समान हैं निश्चित ही एक समांतर चतुर्भुज है।
उत्तर: (i) सत्य, क्योंकि विकर्णों का परस्पर समद्विभाजन समांतर चतुर्भुज की कसौटी है
(ii) सत्य, क्योंकि सम्मुख कोणों के दोनों युग्म समान होना समांतर चतुर्भुज का गुण है
उत्तर: (i) सत्य, (ii) सत्य।

प्रश्न 12. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य: (i) समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है। (ii) एक चतुर्भुज एक आयत होगा यदि इसका प्रत्येक कोण समान हो।
उत्तर: (i) असत्य, क्योंकि समलंब में केवल एक युग्म समांतर होता है जबकि समांतर चतुर्भुज में दोनों सम्मुख युग्म समांतर होते हैं
(ii) सत्य, क्योंकि प्रत्येक कोण समान होने पर चारों कोण 360°/4 = 90° होंगे जो आयत की परिभाषा है
उत्तर: (i) असत्य, (ii) सत्य।

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FAQ

क्या प्रत्येक वर्ग एक आयत और समचतुर्भुज दोनों होता है?
हाँ, वर्ग में आयत के सभी गुण (प्रत्येक कोण 90°) तथा समचतुर्भुज के सभी गुण (सभी भुजाएँ समान और विकर्ण 90° पर समद्विभाजित) मौजूद होते हैं। इसलिए वेन आरेख में वर्ग को आयत और समचतुर्भुज दोनों के प्रतिच्छेदन क्षेत्र में दर्शाया जाता है।

किसी चतुर्भुज के सभी अंतः कोणों का योगफल कितना होता है और इसे कैसे सिद्ध करते हैं?
किसी भी चतुर्भुज के चारों अंतः कोणों का योगफल 360° होता है। इसे चतुर्भुज को एक विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित करके और उनके कोण योगों (180° + 180°) को जोड़कर सिद्ध किया जाता है।

पतंग (Kite) और समांतर चतुर्भुज में मुख्य अंतर क्या है?
पतंग में असंग्लन या अलग-अलग सम्मुख भुजाएँ समांतर होने के बजाय केवल दो आसन्न (सटी हुई) भुजाओं के युग्म समान लंबाई के होते हैं। इसके विपरीत समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर और समान लंबाई के होते हैं।

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