Class 8 Maths Chapter 2 in Hindi PDF: घातों का खेल (गणित प्रकाश)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 2, घातों का खेल: यह अध्याय घातांक, चरघातांकी वृद्धि, वैज्ञानिक संकेतन और बड़ी संख्याओं की गणितीय अवधारणाओं के बारे में है, जिसमें एस्तु, रॉक्सी और निरंजनपुर जैसे पात्र कागज़ मोड़ने, जादुई तालाब के कमल के फूलों, राजा की तीन पुत्रियों के हीरों तथा 5-अंकीय ताले जैसी गतिविधियों से गणित सीखते हैं । इसमें बुर्ज खलीफा, मारियाना ट्रेंच, चंद्रमा तक की दूरी तथा ‘ललिताविस्तर’ जैसे ऐतिहासिक ग्रंथों में वर्णित उदाहरणों के ज़रिए बड़ी तथा छोटी संख्याओं की तुलना की गई है ।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 2 (घातों का खेल): मुख्य बिंदु

घात के खेल का अनुभव यदि 0.001 सेमी मोटाई वाले कागज़ को 46 बार मोड़ा जाए तो इसकी मोटाई इतनी बढ़ जाती है कि यह चंद्रमा तक पहुँच सकती है । कागज़ को 26 बार मोड़ने पर इसकी मोटाई लगभग 670 मीटर हो जाती है जो बुर्ज खलीफा (830 मीटर) से केवल 140 मीटर कम है, तथा 30 बार मोड़ने पर यह 10.7 किमी हो जाती है जो मारियाना ट्रेंच की गहराई (11 किमी) के समीप है ।

चरघातांकी संकेतन और घातांकों के उदाहरण ‘चमकते पत्थर’ की कहानी में राजा की 3 पुत्रियों, 3 टोकरियों, 3 चाबियों, 3 कक्षों, 3 मेजों, 3 हारों और 3 हीरों से कुल 3^7 रत्नों की गणना की जाती है । जादुई तालाब में कमल के फूल रोज़ दोगुने होकर 30वें दिन तालाब पूरा भरते हैं और 5-अंकीय गुप्त संकेत वाले ताले को खोलने के लिए 10^5 = 1,00,000 संभावित संयोजन होते हैं ।

10 की घातें और वैज्ञानिक संकेतन बड़ी संख्याओं को x × 10^y (जहाँ 1 ≤ x < 10) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जैसे सूर्य की आकाशगंगा के केंद्र से दूरी 3 × 10^20 मीटर और पृथ्वी का द्रव्यमान 5.976 × 10^24 किग्रा दर्शाया जाता है । बौद्ध ग्रंथ 'ललिताविस्तर' में राजकुमार गौतम और अर्जुन के संवाद में 10^53 (तल्लाक्षण) तक की घातों का वर्णन है तथा संख्या 10^100 को गूगोल कहते हैं ।

अनुमान, सन्निकटन और ‘दस में आश्चर्यजनक!’ खेल निरंजनपुर रॉक्सी व एस्तु के भार के समान गेहूँ का दान करने और 1 रुपये के सिक्कों का अनुमान लगाकर उनके मूल्य का आकलन करता है । खेल ‘दस में आश्चर्यजनक!’ में दो खिलाड़ी 10 सेकंड में 0 से 9 अंकों और संक्रियाओं का उपयोग करके एस्तु और रॉक्सी की तरह बड़ी संख्याएँ लिखकर प्रतिस्पर्धा करते हैं ।

अध्याय 2 के अभ्यास

• विद्यार्थी 648, 405, 540 और 3600 जैसी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड करके उन्हें चरघातांकी रूप में व्यक्त करने का अभ्यास करते हैं ।
• छात्र दी गई व्यंजकों जैसे 2 × 10^3, 7^2 × 2^3 और (-2)^5 × (-10)^6 का संख्यात्मक मान निकालने का अभ्यास करते हैं ।
• छात्र दी गई बड़ी संख्याओं जैसे 59,853, 65,950 और 70,04,00,00,000 को मानक या वैज्ञानिक संकेतन में बदलने का अभ्यास करते हैं ।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 2 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. 2224 ÷ 432 के मान में इकाई अंक को ज्ञात कीजिए?
उत्तर: 4^32 = (2^2)^32 = 2^64
2^224 ÷ 2^64 = 2^(224 – 64) = 2^160
2 की घातों के इकाई अंक का चक्र 2, 4, 8, 6 होता है
घातांक 160, 4 से पूर्णतः विभाजित होता है (160 = 4 × 40), अतः इकाई का अंक 6 होगा
उत्तर: 6।

प्रश्न 2. एक बॉक्स में 5 बोतलें हैं। प्रत्येक दिन एक नया बॉक्स लाया जाता है। 40 दिन के पश्चात वहाँ कितनी बोतलें होंगी?
उत्तर: 1 बॉक्स में बोतलों की संख्या = 5
40 दिनों में लाए गए कुल बॉक्स = 40
बोतलों की कुल संख्या = 40 × 5 = 200
उत्तर: 200 बोतलें।

प्रश्न 3. नीचे दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड कीजिए तथा इन्हें चरघातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए: (i) 648 (ii) 405 (iii) 540 (iv) 3600
उत्तर: (i) 648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 2^3 × 3^4
(ii) 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 = 3^4 × 5^1
(iii) 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 2^2 × 3^3 × 5^1
(iv) 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2^4 × 3^2 × 5^2
उत्तर: (i) 2^3 × 3^4, (ii) 3^4 × 5, (iii) 2^2 × 3^3 × 5, (iv) 2^4 × 3^2 × 5^2।

प्रश्न 4. नीचे दिए गए प्रत्येक व्यंजकों का संख्यात्मक मान लिखिए: (i) 2 × 103 (ii) 72 × 23 (iii) 3 × 44 (iv) (–2)5 × (–10)6
उत्तर: (i) 2 × 10^3 = 2 × 1000 = 2000
(ii) 7^2 × 2^3 = 49 × 8 = 392
(iii) 3 × 4^4 = 3 × 256 = 768
(iv) (–2)^5 × (–10)^6 = (–32) × 1000000 = –32000000
उत्तर: (i) 2000, (ii) 392, (iii) 768, (iv) –3,20,00,000।

प्रश्न 5. नीचे दिए गए प्रश्नों को हल कीजिए एवं उत्तरों को चरघातांकीय रूप में लिखिए: (i) 2–4 × 27 (ii) 32 × 3–5 × 36 (iii) p3 × p–10
उत्तर: (i) 2^(-4) × 2^7 = 2^(-4 + 7) = 2^3
(ii) 3^2 × 3^(-5) × 3^6 = 3^(2 – 5 + 6) = 3^3
(iii) p^3 × p^(-10) = p^(3 – 10) = p^(-7)
उत्तर: (i) 2^3, (ii) 3^3, (iii) p^(-7)।

प्रश्न 6. इन संख्याओं को 10 की घात का उपयोग करके विस्तारित रूप में लिखिए: (i) 172 (ii) 5642 (iii) 6374
उत्तर: (i) 172 = (1 × 10^2) + (7 × 10^1) + (2 × 10^0)
(ii) 5642 = (5 × 10^3) + (6 × 10^2) + (4 × 10^1) + (2 × 10^0)
(iii) 6374 = (6 × 10^3) + (3 × 10^2) + (7 × 10^1) + (4 × 10^0)
उत्तर: उपरोक्तानुसार विस्तारित रूप।

प्रश्न 7. इन्हें सरल कीजिए और घातांकीय रूप में लिखिए: (i) 10–2 × 10–5 (ii) 57 ÷ 54 (iii) 9–7 ÷ 94 (iv) (13–2)–3
उत्तर: (i) 10^(-2) × 10^(-5) = 10^(-2 + (-5)) = 10^(-7)
(ii) 5^7 ÷ 5^4 = 5^(7 – 4) = 5^3
(iii) 9^(-7) ÷ 9^4 = 9^(-7 – 4) = 9^(-11)
(iv) (13^(-2))^(-3) = 13^((-2) × (-3)) = 13^6
उत्तर: (i) 10^(-7), (ii) 5^3, (iii) 9^(-11), (iv) 13^6।

प्रश्न 8. यदि 122 = 144 तो निम्न का मान क्या है? (i) (1.2)2 (ii) (0.12)2 (iii) (0.012)2 (iv) 1202
उत्तर: (i) (1.2)^2 = (12/10)^2 = 144/100 = 1.44
(ii) (0.12)^2 = (12/100)^2 = 144/10000 = 0.0144
(iii) (0.012)^2 = (12/1000)^2 = 144/1000000 = 0.000144
(iv) 120^2 = (12 × 10)^2 = 144 × 100 = 14400
उत्तर: (i) 1.44, (ii) 0.0144, (iii) 0.000144, (iv) 14400।

प्रश्न 9. समान संख्याओं पर घेरा लगाइए: 24 × 36, 64 × 32, 610, 182 × 62, 624
उत्तर: 2^4 × 3^6 = 16 × 729 = 11664
6^4 × 3^2 = 1296 × 9 = 11664
6^10 = 60466176
18^2 × 6^2 = 324 × 36 = 11664
6^24 = एक अति विशाल संख्या
मानों की तुलना से 2^4 × 3^6, 6^4 × 3^2 तथा 18^2 × 6^2 समान हैं
उत्तर: 2^4 × 3^6, 6^4 × 3^2 और 18^2 × 6^2।

प्रश्न 10. निम्नलिखित विकल्पों में से प्रत्येक बड़ी संख्या को पहचानिए: (i) 43 या 34 (ii) 28 या 82 (iii) 1002 या 2100
उत्तर: (i) 4^3 = 64 तथा 3^4 = 81 (चूँकि 81 > 64, अतः 3^4 बड़ा है)
(ii) 2^8 = 256 तथा 8^2 = 64 (चूँकि 256 > 64, अतः 2^8 बड़ा है)
(iii) 100^2 = 10000 तथा 2^100 ≈ 1.26 × 10^30 (चूँकि 2^100 ≫ 10000, अतः 2^100 बड़ा है)
उत्तर: (i) 3^4, (ii) 2^8, (iii) 2^100।

प्रश्न 11. वर्ष 2024 में सम्पूर्ण विश्व में भेड़ों की संख्या लगभग 109 थी और बकरियों की संख्या भी लगभग भेड़ों के समान ही थी। बताइए कि भेड़ों और बकरियों की कुल संख्या कितनी है? (i) 209 (ii) 1011 (iii) 1010 (iv) 1018 (v) 2 × 109 (vi) 109 + 109
उत्तर: भेड़ों की संख्या = 10^9
बकरियों की संख्या = 10^9
कुल संख्या = 10^9 + 10^9 = 2 × 10^9
उत्तर: विकल्प (v) 2 × 10^9 तथा विकल्प (vi) 10^9 + 10^9 दोनों सही उत्तर हैं।

प्रश्न 12. गणना कीजिए और अपने उत्तर को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए: (i) यदि विश्व में प्रत्येक व्यक्ति के पास 30 वस्त्र हों (जनसंख्या ≈ 8 × 109) तो वस्त्रों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए। (ii) विश्व में लगभग 100 मिलियन छत्ते हैं, यदि प्रत्येक छत्ते में 50,000 मधुमक्खियाँ हों तो मधुमक्खियों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर: (i) कुल वस्त्र = (8 × 10^9) × 30 = 240 × 10^9 = 2.4 × 10^11
(ii) 100 मिलियन छत्ते = 10^8 छत्ते
प्रत्येक छत्ते में 50,000 = 5 × 10^4 मधुमक्खियाँ
कुल मधुमक्खियाँ = 10^8 × (5 × 10^4) = 5 × 10^12
उत्तर: (i) 2.4 × 10^11, (ii) 5 × 10^12।

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FAQ

कागज़ को 30 बार मोड़ने पर उसकी मोटाई किस प्राकृतिक या मानव-निर्मित संरचना के बराबर हो जाती है?
कागज़ को 30 बार मोड़ने पर उसकी मोटाई लगभग 10.7 किलोमीटर हो जाती है । यह हवाई जहाज़ के उड़ने की ऊँचाई और समुद्र की सबसे गहरी खाई मारियाना ट्रेंच (11 किलोमीटर) की गहराई के लगभग बराबर है ।

‘ललिताविस्तर’ ग्रंथ और गूगोल (Googol) में 10 की कौन-सी बड़ी घातों का उल्लेख मिलता है?
बौद्ध ग्रंथ ‘ललिताविस्तर’ में 10 की विषम घातों में 10^53 तक की संख्याओं (तल्लाक्षण) का नाम दिया गया है । संख्या 10^100 को ‘गूगोल’ तथा 10^गूगोल को ‘गूगोलप्लेक्स’ कहा जाता है ।

वैज्ञानिक संकेतन या मानक रूप क्या है और इसमें घात का क्या महत्व है?
वैज्ञानिक संकेतन में किसी भी संख्या को x × 10^y (जहाँ 1 ≤ x < 10) के रूप में लिखा जाता है । इसमें घातांक y संख्या के अंकों की संख्या और उसके परिमाण को दर्शाने के लिए गुणांक x से भी अधिक महत्वपूर्ण होता है ।

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