Class 8 Maths Chapter 7 in Hindi PDF: समानुपातिक तर्कण-1 (गणित प्रकाश)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 7, समानुपातिक तर्कण-1: यह अध्याय अनुपात, समानुपात, आनुपातिक तर्कण और राशियों के आनुपातिक विभाजन की गणितीय अवधारणाओं के बारे में है। इसमें बाघ के चित्रों के आकार परिवर्तन, केसांग के नींबू पानी, मंजनुाथ की फ़िल्टर कॉफ़ी, नितिन व हरी की दीवार निर्माण, हिमाचल व मेघालय की चाय, तथा लीलावती ग्रंथ के केसर-निष्कस प्रश्न जैसे उदाहरणों से गणित समझाया गया है।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 7 (समानुपातिक तर्कण-1): मुख्य बिंदु

7.1 परिवर्तन में समानता का अवलोकन बाघ के चित्र ‘क’ (60×40 मिमी), ‘ग’ (30×20 मिमी) और ‘घ’ (90×60 मिमी) में चौड़ाई व ऊँचाई का अनुपात 3:2 समान रहता है। जबकि चित्र ‘ख’ (40×20 मिमी) और चित्र ‘ङ’ (60×60 मिमी) में चौड़ाई व ऊँचाई में समान गुणक से परिवर्तन न होने के कारण उनके आकार विकृत दिखाई देते हैं।

7.2 व 7.3 अनुपात, समानुपात और सरलतम रूप दो अनुपातों को सरलतम रूप में बदलने के लिए उनके पदों को महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) से विभाजित किया जाता है, जैसे 60:40 का म.स.प. 20 होने पर सरलतम रूप 3:2 मिलता है। जब दो अनुपातों का सरलतम रूप समान होता है तो वे समानुपाती (::) कहलाते हैं, जैसे केसांग को 6 गिलास नींबू पानी में 10 चम्मच चीनी के अनुपात (6:10) से 18 गिलास नींबू पानी बनाने के लिए 30 चम्मच चीनी की आवश्यकता होती है।

7.4 व 7.5 अनुपातिक तुलना और साझा करना हिमाचल में 200 ग्राम चाय ₹ 200 में और मेघालय में 1 किग्रा चाय ₹ 800 में बिकने पर तुलना करने पर हिमाचल की चाय (₹ 1000/किग्रा) मेघालय (₹ 800/किग्रा) से अधिक मूल्यवान निकलती है। जब किसी राशि x को m:n के अनुपात में दो भागों में बाँटा जाता है, तो पहला भाग m × x / (m + n) तथा दूसरा भाग n × x / (m + n) होता है, जैसे प्रांजलि (₹ 75000) और भुवन (₹ 25000) अपने ₹ 4000 के लाभ को 3:1 के अनुपात में बाँटते हैं।

7.6 इकाई रूपांतरण और व्यावहारिक समस्याएँ 40 किग्रा के रेत और सीमेंट के 3:1 वाले मिश्रण में 30 किग्रा रेत और 10 किग्रा सीमेंट होता है, जिसे 5:2 के अनुपात में बदलने के लिए 2 किग्रा अतिरिक्त सीमेंट मिलाया जाता है। प्राचीन लीलावती ग्रंथ की समस्या के अनुसार यदि 21/2 पलस केसर का मूल्य 37 निष्कस है, तो 9 निष्कस में बेची जाने वाली केसर की मात्रा समानुपातिक गणना से ज्ञात की जाती है।

अध्याय 7 के अभ्यास

• विद्यार्थी ‘आइए, पता लगाएँ’ अभ्यास में दिए गए अनुपातों (जैसे 4:7 :: 12:21) में से सही समानुपात कथनों पर गोला लगाने तथा 18:24 के समानुपाती लुप्त संख्याएँ भरने का कार्य करते हैं।
• छात्र अपने परिवार के लिए किसी व्यंजन की सामग्री तथा 15 अतिथियों के लिए आवश्यक सामग्री की मात्रा अनुपातिक विधि से ज्ञात करने की गतिविधि करते हैं।
• छात्र 155 सेमी ऊँचे सारस की गर्दन व शरीर के 4:6 अनुपात के आधार पर अपनी ऊँचाई के अनुसार अपनी गर्दन की लंबाई निकालने तथा लीलावती ग्रंथ के केसर-निष्कस वाले प्रश्नों को हल करते हैं।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 7 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. निम्नलिखित समानुपातों के सही कथनों की पहचान कीजिए: (i) 4 : 7 :: 12 : 21 (ii) 8 : 3 :: 24 : 6 (iii) 21 : 6 :: 35 : 10 (iv) 24 : 8 :: 9 : 3
उत्तर: (i) 12:21 = 4:7 (सत्य)
(ii) 24:6 = 4:1 ≠ 8:3 (असत्य)
(iii) 21:6 = 7:2 तथा 35:10 = 7:2 (सत्य)
(iv) 24:8 = 3:1 तथा 9:3 = 3:1 (सत्य)
उत्तर: (i), (iii) तथा (iv) सही समानुपात हैं।

प्रश्न 2. ₹ 4,500 को 2 : 3 के अनुपात में दो भागों में विभाजित कीजिए।
उत्तर: अनुपात का योग = 2 + 3 = 5
प्रथम भाग = (2/5) × 4500 = 2 × 900 = ₹ 1,800
द्वितीय भाग = (3/5) × 4500 = 3 × 900 = ₹ 2,700
उत्तर: ₹ 1,800 तथा ₹ 2,700।

प्रश्न 3. एक विज्ञान की प्रयोगशाला में अम्ल और जल को 1 : 5 के अनुपात में मिलाकर एक विलयन तैयार किया जाता है। 240 मिलीलीटर विलयन में अम्ल और जल की कितनी मात्रा होगी?
उत्तर: अनुपातिक पदों का योग = 1 + 5 = 6
अम्ल की मात्रा = (1/6) × 240 = 40 मिलीलीटर
जल की मात्रा = (5/6) × 240 = 200 मिलीलीटर
उत्तर: अम्ल = 40 मिलीलीटर, जल = 200 मिलीलीटर।

प्रश्न 4. हरा रंग बनाने के लिए नीले और पीले रंग का 3 : 5 के अनुपात में मिश्रण तैयार किया जाता है। 40 मिलीलीटर हरा रंग बनाने के लिए दोनों रंगों की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी?
उत्तर: अनुपातिक पदों का योग = 3 + 5 = 8
नीले रंग की मात्रा = (3/8) × 40 = 15 मिलीलीटर
पीले रंग की मात्रा = (5/8) × 40 = 25 मिलीलीटर
उत्तर: नीला रंग = 15 मिलीलीटर, पीला रंग = 25 मिलीलीटर।

प्रश्न 5. नरम इडली बनाने के लिए चावल और उड़द दाल को 2 : 1 में मिलाना होता है। इस मिश्रण के 6 कप बनाने के लिए कितने कप चावल और उड़द दाल की आवश्यकता होगी?
उत्तर: कुल अनुपातिक भाग = 2 + 1 = 3
चावल की मात्रा = (2/3) × 6 = 4 कप
उड़द दाल की मात्रा = (1/3) × 6 = 2 कप
उत्तर: चावल = 4 कप, उड़द दाल = 2 कप।

प्रश्न 6. अनघ 600 मिलीलीटर संतरे के रस को 900 मिलीलीटर सेब के रस के साथ मिलाता है। संतरे के रस और सेब के रस का अनुपात सरलतम रूप में लिखिए।
उत्तर: अनुपात = 600 : 900
600 और 900 का म.स.प. (HCF) = 300
पदों को 300 से विभाजित करने पर: (600 ÷ 300) : (900 ÷ 300) = 2 : 3
उत्तर: 2 : 3।

प्रश्न 7. हरमन की आयु 1 वर्ष है और उसके भाई की आयु 5 वर्ष है। बताइए कि जब हरमन और उसके भाई की आयु का अनुपात 1 : 2 होगा तब हरमन की आयु क्या होगी?
उत्तर: हरमन और भाई की आयु का अंतर = 5 – 1 = 4 वर्ष (अंतर सदैव समान रहता है)
जब अनुपात 1 : 2 (H : B) होगा, तो आयु का अंतर = 2 – 1 = 1 इकाई
1 इकाई = 4 वर्ष
अतः हरमन की आयु = 1 इकाई = 4 वर्ष (तथा भाई की आयु = 8 वर्ष)
उत्तर: 4 वर्ष।

प्रश्न 8. सोने और पानी के समान आयतन का द्रव्यमान 37 : 2 के अनुपात में है। यदि 1 लीटर पानी का द्रव्यमान 1 किलोग्राम है तो 1 लीटर सोने का द्रव्यमान कितना होगा?
उत्तर: माना 1 लीटर सोने का द्रव्यमान x किलोग्राम है
समानुपात से: x : 1 :: 37 : 2
2 × x = 37 × 1 ⇒ x = 37 / 2 = 18.5 किलोग्राम
उत्तर: 18.5 किलोग्राम।

प्रश्न 9. एक नल 500 मिलीलीटर आयतन वाले मग को पानी से भरने में 15 सेकंड का समय लेता है। 10 लीटर क्षमता वाली बाल्टी को पानी से भरने में वही नल कितना समय लेगा?
उत्तर: बाल्टी की क्षमता = 10 लीटर = 10,000 मिलीलीटर
मगों की संख्या = 10,000 / 500 = 20 मग
कुल आवश्यक समय = 20 × 15 सेकंड = 300 सेकंड = 5 मिनट
उत्तर: 300 सेकंड (अथवा 5 मिनट)।

प्रश्न 10. एक किसान को अपने 20 एकड़ खेत की जुताई करनी है। बैलों की एक जोड़ी को 1 एकड़ जमीन जोतने में 6 घंटे का समय लगता है। बैलों की जोड़ी से पूरा खेत जोतने में कितना समय लगेगा?
उत्तर: 1 एकड़ खेत जोतने का समय = 6 घंटे
20 एकड़ खेत जोतने का समय = 20 × 6 = 120 घंटे
उत्तर: 120 घंटे (अथवा 5 दिन)।

प्रश्न 11. यदि 120 विद्यार्थियों के लिए मध्याह्न भोजन में 15 किलोग्राम चावल बनता है, तो 80 विद्यार्थियों के उपस्थित होने पर कितने किलोग्राम चावल बनाना चाहिए?
उत्तर: विद्यार्थियों की संख्या और चावल का अनुपात समानुपाती (120 : 15 :: 80 : x) होता है
वज्र गुणन से: 120 × x = 80 × 15
x = (80 × 15) / 120 = 1200 / 120 = 10 किलोग्राम
उत्तर: 10 किलोग्राम।

प्रश्न 12. कार द्वारा 150 मिनट में 90 किलोमीटर की दूरी तय की जाती है। कार द्वारा 4 घंटे (240 मिनट) में तय की जाने वाली दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 4 घंटे = 4 × 60 = 240 मिनट
समानुपात: 150 : 90 :: 240 : x
वज्र गुणन से: 150 × x = 240 × 90
x = (240 × 90) / 150 = 21600 / 150 = 144 किलोमीटर
उत्तर: 144 किलोमीटर।

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FAQ

दो अनुपात समानुपाती कब कहलाते हैं और इसके लिए किस चिह्न का प्रयोग किया जाता है?
जब दो अनुपातों को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) से भाग देकर सरलतम रूप में बदला जाता है और वे आपस में समान होते हैं, तो वे समानुपात में कहलाते हैं। समानुपात को दर्शाने के लिए (::) चिह्न का प्रयोग किया जाता है, जैसे 60 : 40 :: 30 : 20।

किसी कुल राशि को m : n के अनुपात में दो व्यक्तियों के बीच कैसे विभाजित किया जाता है?
किसी राशि x को m : n के अनुपात में बाँटने के लिए कुल समूहों की संख्या (m + n) निकाली जाती है। इसके बाद प्रथम व्यक्ति का भाग m × x / (m + n) और दूसरे व्यक्ति का भाग n × x / (m + n) निकाला जाता है।

क्या गति बढ़ाने पर यात्रा में लगने वाले समय की गणना प्रत्यक्ष समानुपात नियम से की जा सकती है?
नहीं, क्योंकि गति बढ़ाने पर यात्रा में लगने वाला समय घटता है, जो कि प्रत्यक्ष समानुपात नहीं है। इसलिए पुनीत के पिता की मोटरसाइकिल यात्रा जैसी समस्याओं को प्रत्यक्ष समानुपात के रूप में हल नहीं किया जा सकता।

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