Class 8 Maths Chapter 1 in Hindi PDF: वर्ग और घन (गणित प्रकाश)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 1, वर्ग और घन: यह अध्याय वर्ग और घन संख्याओं की गणितीय अवधारणाओं के बारे में है, जिसकी शुरुआत रानी मंजरी की वसीयत और उनके पुत्र खोईनाम तथा 99 संबंधियों के 100 लॉकरों वाली पहेली की कहानी से होती है । इसमें वर्ग-घन संख्याओं के प्रतिरूप, जी.एच. हार्डी व श्रीनिवास रामानुजन की 1729 वाली टैक्सीकैब संख्या की कहानी, तथा अलिबा की वर्गाकार रुमाल काटने की गतिविधि का विस्तार से वर्णन किया गया है ।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 1 (वर्ग और घन): मुख्य बिंदु

1.1 वर्ग संख्याएँ किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को वर्ग कहते हैं, जैसे \(1 times 1 = 1\), \(2 times 2 = 4\), \(3 times 3 = 9\) तथा \(5 times 5 = 25\) । पूर्ण वर्ग संख्याएँ हमेशा 0, 1, 4, 5, 6 या 9 अंक पर समाप्त होती हैं और वे कभी भी 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त नहीं होती हैं ।

पूर्ण वर्ग और विषम संख्याएँ पहली n क्रमगत विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, जैसे \(1+3+5+7+9 = 25 = 5^2\) । किसी संख्या (जैसे 25) में से क्रमगत विषम संख्याएँ (1, 3, 5, 7, 9) घटाकर 0 प्राप्त करके पूर्ण वर्ग होने की जाँच की जाती है ।

1.2 घन संख्याएँ और टैक्सीकैब संख्याएँ किसी संख्या n को स्वयं से तीन बार गुणा करने पर घन \(n^3\) प्राप्त होता है, जैसे \(1^3=1\), \(2^3=8\) और \(3^3=27\) । 1729 सबसे छोटी टैक्सीकैब संख्या (हार्डी-रामानुजन संख्या) है जिसे दो घनों के योग के रूप में (\(1^3+12^3\) तथा \(9^3+10^3\)) व्यक्त किया जाता है ।

1.3 इतिहास की एक झलक बेबिलोन निवासियों ने सामान्य संवत पूर्व 1700 में मिट्टी की पट्टिकाओं पर पूर्ण वर्गों और घनों की प्रथम सूची तैयार की थी । प्राचीन भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट (499 संवत) और ब्रह्मगुप्त (628 संवत) ने वर्ग, घन और ‘मूल’ (वर्गमूल, घनमूल) अवधारणाओं का स्पष्ट वर्णन किया है ।

अध्याय 1 के अभ्यास

• विद्यार्थी अरिराम और बिजॉय के खेल का अनुसरण करते हुए 250 जैसी गैर-पूर्ण वर्ग संख्या के निकटतम वर्गमूल (लगभग 16) का अनुमान लगाने का अभ्यास करते हैं ।
• छात्र अलिबा के 125 वर्ग सेंटीमीटर वाले कपड़े से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े वर्गाकार रुमाल की 11 सेंटीमीटर भुजा ज्ञात करते हैं ।
• ‘आइए, पता लगाएँ’ अभ्यास में विद्यार्थी 2032, 2048, 1027 में से गैर-पूर्ण वर्ग संख्याओं की पहचान करते हैं तथा 441 वर्ग मीटर वाले वर्ग की भुजा (21 मीटर) ज्ञात करते हैं ।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 1 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं? (i) 2032 (ii) 2048 (iii) 1027 (iv) 1089
उत्तर: जिन संख्याओं का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 होता है वे पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं
2032 का इकाई अंक 2, 2048 का इकाई अंक 8 और 1027 का इकाई अंक 7 है, अतः ये पूर्ण वर्ग नहीं हैं
1089 = 33^2 एक पूर्ण वर्ग है
उत्तर: (i) 2032, (ii) 2048 और (iii) 1027 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

प्रश्न 2. 64^2, 108^2, 292^2, 36^2 में से किसका इकाई अंक 4 है?
उत्तर: 64^2 में 4^2 = 16 (इकाई अंक 6)
108^2 में 8^2 = 64 (इकाई अंक 4)
292^2 में 2^2 = 4 (इकाई अंक 4)
36^2 में 6^2 = 36 (इकाई अंक 6)
उत्तर: 108^2 और 292^2।

प्रश्न 3. यदि 125^2 = 15625 तो 126^2 का मान क्या है? (i) 15625 + 126 (ii) 15625 + 262 (iii) 15625 + 253 (iv) 15625 + 251 (v) 15625 + 512
उत्तर: 126^2 = (125 + 1)^2 = 125^2 + 2 × 125 × 1 + 1^2 = 15625 + 250 + 1 = 15625 + 251
उत्तर: (iv) 15625 + 251।

प्रश्न 4. 441 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा^2 = 441 वर्ग मीटर
भुजा = √441 = √(21 × 21) = 21 मीटर
उत्तर: 21 मीटर।

प्रश्न 5. वह छोटी से छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 से विभाजित होती हो।
उत्तर: 4, 9 और 10 का ल.स.प. (LCM) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
180 का अभाज्य गुणनखंडन = 2^2 × 3^2 × 5
अभाज्य गुणनखंडन में 5 का जोड़ा बनाने के लिए इसे 5 से गुणा करेंगे
180 × 5 = 900
900 = 30^2 एक पूर्ण वर्ग संख्या है
उत्तर: 900।

प्रश्न 6. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 9408 से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। प्राप्त गुणनफल का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 9408 का अभाज्य गुणनखंडन = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7 = (2^2) × (2^2) × (2^2) × 3 × (7^2)
यहाँ 3 का युग्म नहीं है, अतः वह छोटी से छोटी संख्या 3 है
प्राप्त पूर्ण वर्ग गुणनफल = 9408 × 3 = 28224
वर्गमूल = √(28224) = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 168
उत्तर: छोटी से छोटी संख्या = 3, वर्गमूल = 168।

प्रश्न 7. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के मध्य कितनी संख्याएँ हैं? (i) 16 और 17 (ii) 99 और 100
उत्तर: किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं n और n+1 के वर्गों (n^2 और (n+1)^2) के मध्य 2n प्राकृत संख्याएँ होती हैं
(i) 16 और 17 के लिए n = 16, मध्य की संख्याएँ = 2 × 16 = 32
(ii) 99 और 100 के लिए n = 99, मध्य की संख्याएँ = 2 × 99 = 198
उत्तर: (i) 32, (ii) 198।

प्रश्न 8. निम्नलिखित प्रतिरूप में विलुप्त संख्या अंकित कीजिए: 1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2, 2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2, 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2, 4^2 + 5^2 + 20^2 = (___)^2, 9^2 + 10^2 + (___)^2 = (___)^2
उत्तर: दिए गए प्रतिरूप a^2 + b^2 + c^2 = d^2 में c = a × b तथा d = c + 1 है
चौथे पद में: 4^2 + 5^2 + 20^2 = (21)^2
पाँचवें पद में: 9^2 + 10^2 + (90)^2 = (91)^2
उत्तर: प्रथम रिक्त स्थान में 21, द्वितीय रिक्त स्थानों में क्रमशः 90 तथा 91।

प्रश्न 9. 27000 और 10648 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 27000 का अभाज्य गुणनखंडन = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) = 2^3 × 3^3 × 5^3
घनमूल = 2 × 3 × 5 = 30
10648 का अभाज्य गुणनखंडन = (2 × 2 × 2) × (11 × 11 × 11) = 2^3 × 11^3
घनमूल = 2 × 11 = 22
उत्तर: 27000 का घनमूल = 30, 10648 का घनमूल = 22।

प्रश्न 10. 1323 को घन संख्या बनाने के लिए आप किस संख्या से गुणा करेंगे?
उत्तर: 1323 का अभाज्य गुणनखंडन = 3 × 3 × 3 × 7 × 7 = (3 × 3 × 3) × (7 × 7) = 3^3 × 7^2
अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक (3 के समूह) बनाने पर 7 का त्रिक पूरा करने के लिए एक 7 की कमी है
अतः 1323 को पूर्ण घन बनाने के लिए 7 से गुणा करना होगा
उत्तर: 7।

प्रश्न 11. निम्न में से सत्य या असत्य बताइए और अपने तर्क की व्याख्या कीजिए: (i) किसी विषम संख्या का घन सम होगा (ii) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं जो 8 पर समाप्त होता है (iii) 2 अंकीय संख्या का घन 3 अंकीय संख्या हो सकता है (iv) 2 अंकों वाली संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं (v) घन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है
उत्तर: (i) असत्य, क्योंकि विषम संख्या का घन सदैव विषम होता है (जैसे 3^3 = 27)
(ii) असत्य, क्योंकि 2^3 = 8 जो 8 पर समाप्त होता है
(iii) असत्य, क्योंकि सबसे छोटी 2-अंकीय संख्या 10 का घन 1000 (4 अंक) होता है
(iv) असत्य, क्योंकि सबसे बड़ी 2-अंकीय संख्या 99 का घन 970299 (6 अंक) होता है
(v) असत्य, क्योंकि 8 एक पूर्ण घन है जिसके 4 गुणनखंड (1, 2, 4, 8) हैं जो सम संख्या है
उत्तर: सभी (i) से (v) कथन असत्य हैं।

प्रश्न 12. निम्नलिखित में से सबसे बड़ा कौन है? अपने तर्क की व्याख्या कीजिए: (i) 67^3 – 66^3 (ii) 43^3 – 42^3 (iii) 67^2 – 66^2 (iv) 43^2 – 42^2
उत्तर: सूत्र n^3 – (n-1)^3 = 3n(n-1) + 1 से: (i) 67^3 – 66^3 = 3 × 67 × 66 + 1 = 13267
(ii) 43^3 – 42^3 = 3 × 43 × 42 + 1 = 5419
(iii) 67^2 – 66^2 = 67 + 66 = 133
(iv) 43^2 – 42^2 = 43 + 42 = 85
इन मानों में 13267 सबसे बड़ा है
उत्तर: (i) 67^3 – 66^3।

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अन्य अध्याय

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FAQ

कौन-सी संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती हैं?
जिस संख्या के अंत में इकाई का अंक 2, 3, 7 या 8 होता है, वह कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती है । इसके अलावा विषम संख्या में शून्य वाली संख्याएँ भी पूर्ण वर्ग नहीं होती हैं ।

अभाज्य गुणनखंडन विधि से पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन की जाँच कैसे करते हैं?
यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के दो-दो के समान जोड़े (युग्म) बन जाएँ तो वह पूर्ण वर्ग होती है, और यदि तीन-तीन के समान समूह (त्रिक) बन जाएँ तो वह पूर्ण घन होती है ।

1729 को हार्डी-रामानुजन संख्या या टैक्सीकैब संख्या क्यों कहते हैं?
1729 वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जिसे दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में (\(1^3+12^3\) और \(9^3+10^3\)) व्यक्त किया जा सकता है ।

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