Class 8 Maths Chapter 10 in Hindi PDF: समानुपातिक तर्कण-2 (गणित प्रकाश, भाग 2)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 3, समानुपातिक तर्कण-2: यह अध्याय बहुपदों के अनुपात, समानुपात, पाई चार्ट (वृत्त आरेख) तथा व्युत्क्रमानुपात की अवधारणाओं और उनके व्यावहारिक अनुप्रयोगों को समझाने के बारे में है। इसमें विश्वनाथ और पुनीत द्वारा इडली व मसालों के मिश्रण, मानचित्र पर बेंगलुरु व चेन्नई की दूरी, बैंगनी रंग के प्रलेप, कंक्रीट निर्माण तथा लखनऊ से कानपुर की यात्रा जैसी गतिविधियों और उदाहरणों का प्रयोग किया गया है।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 10 (भाग 2 अध्याय 3) (समानुपातिक तर्कण-2): मुख्य बिंदु

3.1 एवं 3.2 समानुपातिकता और मानचित्रों में अनुपात इडली के घोल में चावल और उड़द दाल का प्रचलित अनुपात 2 : 1 है, जिसे विश्वनाथ (6 : 3) और पुनीत (4 : 2) के उदाहरणों में वज्र-गुणन विधि द्वारा समानुपाती (12 = 12) सिद्ध किया गया है। मानचित्र में निरूपक भिन्न (RF = 1 : 60,00,000) का अर्थ है कि 1 cm दूरी धरातल की 60 km भौगोलिक दूरी को दर्शाती है, जिससे बेंगलुरु और चेन्नई के बीच की दूरी ज्ञात की जाती है।

3.3 एवं 3.4 दो से अधिक पदों का अनुपात और पूर्ण राशि को बाँटना विश्वनाथ 8 चम्मच धनिया, 4 चम्मच लाल मिर्च, 2 चम्मच तुअर दाल व 1 चम्मच मेथीदाना से 8 : 4 : 2 : 1 अनुपात में मसाला बनाता है, जिसे पुनीत मिर्च आधी होने पर 4 : 2 : 1 : 0.5 करता है। कंक्रीट निर्माण में सीमेंट, रेत व बजरी को 1 : 1.5 : 3 अनुपात में मिलाया जाता है, जहाँ 110 इकाई कंक्रीट बनाने के लिए 20 इकाई सीमेंट, 30 इकाई रेत और 60 इकाई बजरी की आवश्यकता होती है।

3.5 पाई का एक अंश (वृत्त आरेख) वृत्त आरेख (Pie-chart) के केंद्र पर बनने वाले कुल 360° कोण को विभिन्न मदों के अनुपातों में बाँटकर आँकड़ों का निरूपण किया जाता है। 40 विद्यार्थियों के ग्रेड्स (12, 10, 8, 6, 4) का सरलतम अनुपात 6 : 5 : 4 : 3 : 2 निकालकर वृत्त आरेख में क्रमशः 108°, 90°, 72°, 54° और 36° के कोण बनाए जाते हैं।

3.6 व्युत्क्रमानुपात जब एक राशि बढ़ने पर दूसरी उसी अनुपात में घटती है, तो उनका गुणनफल अचर (xy = k) रहता है जिसे व्युत्क्रमानुपात कहते हैं। पुनीत के पिताजी 30 km/h की गति से लखनऊ से कानपुर 3 घंटे में पहुँचते हैं, जबकि 60 km/h की गति से कार से जाने पर केवल 1.5 घंटे का समय लगता है।

अध्याय 10 के अभ्यास

• विद्यार्थी 1 : 50 के पैमाने का उपयोग करके अपनी कक्षा का प्रारूप बनाते हैं, जिसमें टेबल, श्यामपट्ट, पंखे और लाइटों के स्थान प्रतीकों द्वारा निर्धारित करते हैं।
• विद्यार्थी 360 व्यक्तियों के समूह द्वारा वर्षा, ग्रीष्म और शीत ऋतु के लिए किए गए मतदान के आँकड़ों के आधार पर एक वृत्त आरेख तैयार करते हैं।
• विद्यार्थी विभिन्न प्राणियों (जैसे जिराफ़, हाथी, कुत्ता, बिल्ली आदि) के चित्रों और दी गई सूची को देखकर एक दिन में उनके सोने के औसत घंटों का मिलान करते हैं।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 10 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. एक क्रिकेट प्रशिक्षण अभ्यास सत्रों की योजना बनाता है जिसमें विभिन्न गतिविधियाँ एक विशेष अनुपात में सम्मिलित हैं, जैसे— वार्मअप या शीतलीकरण (Cooldown) के लिए समय : बल्लेबाजी के लिए समय : गेंदबाजी के लिए समय : क्षेत्ररक्षण (Fielding) के लिए समय :: 3 : 4 : 3 : 5 है। यदि प्रत्येक सत्र की अवधि 150 मिनट लंबी हो तो बताइए कि प्रत्येक गतिविधि पर कितना समय व्यतीत किया गया?
उत्तर: कुल समय = 150 मिनट
अनुपाती पदों का योग = 3 + 4 + 3 + 5 = 15
1 भाग का मान = 150 / 15 = 10 मिनट
वार्मअप/शीतलीकरण का समय = 3 × 10 = 30 मिनट
बल्लेबाजी का समय = 4 × 10 = 40 मिनट
गेंदबाजी का समय = 3 × 10 = 30 मिनट
क्षेत्ररक्षण का समय = 5 × 10 = 50 मिनट

प्रश्न 2. एक विद्यालय के पुस्तकालय में विभिन्न भाषाओं की पुस्तकें नीचे दिए गए अनुपात में उपलब्ध हैं— उड़िया पुस्तकों की संख्या : हिंदी पुस्तकों की संख्या : अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या :: 3 : 2 : 1 है। यदि पुस्तकालय में 288 उड़िया पुस्तकें उपलब्ध हैं तो बताइए कि इसमें हिंदी व अंग्रेजी की पुस्तकें कितनी हैं?
उत्तर: उड़िया पुस्तकों का भाग = 3
दिया है 3 भाग = 288 पुस्तकें ⇒ 1 भाग = 288 / 3 = 96 पुस्तकें
हिंदी पुस्तकें (2 भाग) = 2 × 96 = 192 पुस्तकें
अंग्रेजी पुस्तकें (1 भाग) = 1 × 96 = 96 पुस्तकें

प्रश्न 3. मेरे पास 100 सिक्के हैं— ₹10 के सिक्कों की संख्या : ₹5 के सिक्कों की संख्या : ₹2 के सिक्कों की संख्या : ₹1 के सिक्कों की संख्या :: 4 : 3 : 2 : 1 है। बताइए कि सिक्कों के रूप में मेरे पास कुल कितनी धनराशि है?
उत्तर: कुल सिक्के = 100
अनुपात का योग = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
₹10 के सिक्के = (4/10) × 100 = 40 सिक्के (मान = ₹400)
₹5 के सिक्के = (3/10) × 100 = 30 सिक्के (मान = ₹150)
₹2 के सिक्के = (2/10) × 100 = 20 सिक्के (मान = ₹40)
₹1 के सिक्के = (1/10) × 100 = 10 सिक्के (मान = ₹10)
कुल धनराशि = 400 + 150 + 40 + 10 = ₹600

प्रश्न 4. यदि x और y व्युत्क्रमानुपाती हों तो सारणी के रिक्त कोष्ठकों को भरिए: (1) x = 16 पर y = 9 ; (2) x = 12 पर y = ? ; (3) y = 48 पर x = ? ; (4) x = 36 पर y = ?
उत्तर: व्युत्क्रमानुपात के लिए x × y = k (अचर)
प्रथम युग्म से k = 16 × 9 = 144
(2) जब x = 12, तो y = 144 / 12 = 12
(3) जब y = 48, तो x = 144 / 48 = 3
(4) जब x = 36, तो y = 144 / 36 = 4

प्रश्न 5. यदि 24 पेंसिलों का मूल्य ₹120 है तो बताइए 20 पेंसिलों का मूल्य कितना होगा?
उत्तर: पेंसिलों की संख्या और मूल्य में सीधा समानुपात होता है
1 पेंसिल का मूल्य = 120 / 24 = ₹5
20 पेंसिलों का मूल्य = 20 × 5 = ₹100
(समानुपात सूत्र से: 24 : 20 :: 120 : x ⇒ x = (20 × 120) / 24 = 100)
उत्तर: ₹100

प्रश्न 6. एक इमारत पर रखी टंकी में इमारत में रहने वाले 20 परिवारों के लिए 6 दिनों के लिए पर्याप्त पानी है। यदि इमारत में 10 और परिवार रहने के लिए आ जाते हैं तो टंकी का पानी कितने दिनों के लिए पर्याप्त होगा?
उत्तर: प्रारम्भिक परिवार x₁ = 20, दिन y₁ = 6
नए कुल परिवार x₂ = 20 + 10 = 30
व्युत्क्रमानुपात सूत्र x₁y₁ = x₂y₂ से: 20 × 6 = 30 × y₂ ⇒ 120 = 30y₂ ⇒ y₂ = 120 / 30 = 4 दिन
पूर्वाणुमान: प्रत्येक परिवार द्वारा प्रतिदिन जल की खपत समान रहती है।

प्रश्न 7. विद्यालय जाने के सर्वेक्षण के वृत्त आरेख (बस = 120°, पैदल = 90°, साइकिल = 60°, दोपहिया = 60°) के आधार पर उत्तर दीजिए: (i) सर्वाधिक प्रचलित साधन कौन-सा है? (ii) विद्यार्थियों का कितना भाग कार से जाता है? (iii) यदि 18 विद्यार्थी कार से जाते हैं तो सर्वेक्षण में कुल कितने विद्यार्थी थे तथा बस से कितने जाते हैं? (iv) कौन-से दो साधनों से समान संख्या में विद्यार्थी जाते हैं?
उत्तर: (i) सर्वाधिक प्रचलित साधन बस है (केंद्रीय कोण 120°)
(ii) कार का केंद्रीय कोण = 360° – (120° + 90° + 60° + 60°) = 30°
कार से जाने वाला भाग = 30° / 360° = 1/12 भाग
(iii) कुल विद्यार्थी = 18 × 12 = 216 विद्यार्थी
बस से जाने वाले विद्यार्थी = (120° / 360°) × 216 = 72 विद्यार्थी
(iv) साइकिल और दोपहिया से समान संख्या में विद्यार्थी जाते हैं (दोनों का कोण 60° है)।

प्रश्न 8. तीन श्रमिक एक चारदीवारी को 4 दिनों में रंग सकते हैं। यदि समूह में एक और श्रमिक सम्मिलित होता है तो सभी श्रमिकों को कार्य को पूर्ण करने में कितने दिन लगेंगे?
उत्तर: प्रारम्भिक श्रमिक x₁ = 3, दिन y₁ = 4
नए कुल श्रमिक x₂ = 3 + 1 = 4
व्युत्क्रमानुपात सूत्र x₁y₁ = x₂y₂ से: 3 × 4 = 4 × y₂ ⇒ 12 = 4y₂ ⇒ y₂ = 3 दिन
पूर्वाणुमान: सभी श्रमिकों की कार्यकुशलता समान है।

प्रश्न 9. एक पंप द्वारा समान आकार की 2 टंकियों को भरने में 6 घंटे का समय लगता है। बताइए कि इसी पंप के द्वारा ऐसी 5 टंकियों को भरने में कितना समय लगेगा?
उत्तर: टंकियों की संख्या और समय में सीधा समानुपात है
2 टंकियों के लिए समय = 6 घंटे ⇒ 1 टंकी के लिए समय = 6 / 2 = 3 घंटे
5 टंकियों के लिए समय = 5 × 3 = 15 घंटे
(समानुपात सूत्र: 2 : 5 :: 6 : x ⇒ x = (5 × 6) / 2 = 15 घंटे)
उत्तर: 15 घंटे

प्रश्न 10. कुर्सियों के एक दिए गए समूह को 25 पंक्तियों में व्यवस्थित किया गया है और प्रत्येक पंक्ति में 12 कुर्सियाँ हैं। यदि प्रत्येक पंक्ति में 20 कुर्सियों को पुनर्व्यवस्थित किया जाए तो इस नई व्यवस्था में कितनी पंक्तियाँ होंगी?
उत्तर: कुल कुर्सियाँ = 25 × 12 = 300 कुर्सियाँ
नई व्यवस्था में पंक्तियों की संख्या x = 300 / 20 = 15 पंक्तियाँ
(व्युत्क्रमानुपात से: 25 × 12 = x × 20 ⇒ 20x = 300 ⇒ x = 15 पंक्तियाँ)

प्रश्न 11. एक विद्यालय में प्रतिदिन 8 कालांश होते हैं और प्रत्येक कालांश 45 मिनट समयावधि का होता है। यदि विद्यालय में प्रतिदिन 9 कालांश हों तो बताइए कि प्रत्येक कालांश कितना लंबा होगा?
उत्तर: कुल अध्ययन समय = 8 × 45 = 360 मिनट
9 कालांश होने पर प्रत्येक कालांश की समयावधि = 360 / 9 = 40 मिनट
(व्युत्क्रमानुपात सूत्र से: 8 × 45 = 9 × x ⇒ 9x = 360 ⇒ x = 40 मिनट)

प्रश्न 12. एक छोटा पंप एक टंकी को 3 घंटों में भर सकता है जबकि एक बड़ा पंप उसी टंकी को 2 घंटों में भर सकता है। यदि दोनों पंप एक साथ उपयोग किए जाएँ तो बताइए कि टंकी को भरने में कितना समय लगेगा?
उत्तर: छोटे पंप का 1 घंटे का कार्य = 1/3 भाग
बड़े पंप का 1 घंटे का कार्य = 1/2 भाग
दोनों का मिलाकर 1 घंटे का कार्य = 1/3 + 1/2 = 5/6 भाग
पूरी टंकी भरने में लगा समय = 1 / (5/6) = 6/5 घंटे = 1.2 घंटे = 1 घंटा 12 मिनट

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FAQ

निरूपक भिन्न (Representative Fraction— RF) क्या होता है और यह मानचित्र पर क्या दर्शाता है?
निरूपक भिन्न मानचित्र पर दर्शाई गई दूरी और धरातल पर उसकी वास्तविक भौगोलिक दूरी के अनुपात को व्यक्त करता है। जैसे RF = 1 : 60,00,000 में मानचित्र का 1 cm धरातल की 60 km वास्तविक दूरी को दर्शाता है।

पाई चार्ट (वृत्त आरेख) की रचना करते समय विभिन्न भागों के कोण कैसे ज्ञात किए जाते हैं?
वृत्त के केंद्र पर बनने वाले कुल 360° के कोण को दिए गए अनुपातों में विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, ग्रेड A प्राप्त विद्यार्थियों के लिए कोण का मान (6/20) × 360° = 108° प्राप्त होता है।

सीधा समानुपात और व्युत्क्रमानुपात में मुख्य अंतर क्या है?
सीधे समानुपात में दोनों राशियों का भागफल (x/y = k) अचर रहता है, जैसे श्रमिकों की संख्या और ईंटों की संख्या। व्युत्क्रमानुपात में एक राशि बढ़ने पर दूसरी उसी दर से घटती है और उनका गुणनफल (xy = k) अचर रहता है, जैसे गति और समय।

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