Class 8 Maths Chapter 12 in Hindi PDF: बिंदुओं तथा रेखाओं द्वारा बनी कहानियाँ (गणित प्रकाश, भाग 2)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 5, बिंदुओं तथा रेखाओं द्वारा बनी कहानियाँ: यह अध्याय परिवर्तनशील आंकड़ों के माध्य, माध्यिका, स्प्रेडशीट तथा रेखा आलेखों द्वारा आंकड़ों के दृश्यांकन और व्याख्या को समझाने के बारे में है। इसमें शिक्षक सुधाकर द्वारा श्रेयस से कक्षा के 24 विद्यार्थियों की जूतों सहित ऊँचाई मापने, स्प्रेडशीट में फारूक व गौरी के अंकों की गणना तथा मनोज की 48 बक्सों वाली दैनिक गतिविधि पट्टिका जैसे उदाहरणों का उपयोग किया गया है।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 12 (भाग 2 अध्याय 5) (बिंदुओं तथा रेखाओं द्वारा बनी कहानियाँ): मुख्य बिंदु

5.1 संतुलन कार्य और माध्य में परिवर्तन किसी आंकड़ा संग्रह में माध्य एक संतुलन बिंदु होता है जहाँ बाईं और दाईं ओर की दूरियों का योग बराबर रहता है; जब माध्य से बड़ा नया मान जोड़ा जाता है तो माध्य बढ़ जाता है। यदि संग्रह के प्रत्येक मान में नियत संख्या जोड़ी जाए या गुणा किया जाए (जैसे 5 से गुणा करने पर), तो नया माध्य भी उसी अनुपात में बदल जाता है।

स्प्रेडशीट का उपयोग और आंकड़े शिक्षक सुधाकर और छात्रों फारूक, गौरी, पंकज, नागेश के प्राप्तांकों की स्प्रेडशीट में स्तंभ (A, B, C) और पंक्ति (1, 2, 3) के उपयोग से कोष्ठिका नाम (जैसे E5, B7) तथा व्यंजक B3:G3 द्वारा योग व औसत की त्वरित गणना की जाती है। इसमें सूत्र लिखकर प्रत्येक विद्यार्थी के कुल प्राप्तांक और विषयों के औसत अंक शीघ्रता से ज्ञात किए जा सकते हैं।

5.2 आंकड़ों का दृश्यांकन (रेखा-आलेख) वर्ष 2023 में केरल और पंजाब के अधिकतम मासिक तापमान तथा विभिन्न शहरों की औसत मासिक वर्षा के आंकड़ों को रेखा आलेख द्वारा निरूपित कर समय के साथ होने वाले परिवर्तनों को दर्शाया गया है। रेखा आलेख में आंकड़ा-बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़कर रुझानों और प्रवृत्तियों का स्पष्ट दृश्यांकन किया जाता है।

गतिविधि पट्टिका और दैनिक दिनचर्या मनोज अपनी दैनिक गतिविधियों को आधी रात से अगली आधी रात तक 30-30 मिनट के 48 बक्सों वाली तीन रंगीन पट्टिकाओं पर निद्रा, भोजन, अध्ययन, खेल व यात्रा के रूप में अंकित करता है। इन पट्टिकाओं के विश्लेषण से शुक्रवार से रविवार तक के दिनों की भिन्न-भिन्न दिनचर्या और औसत समय की व्याख्या की जाती है।

अध्याय 12 के अभ्यास

• विद्यार्थी जूते पहनकर मापी गई 24 विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई 150.2 cm में से 1 cm घटाकर वास्तविक औसत ऊँचाई (149.2 cm) ज्ञात करते हैं।
• विद्यार्थी कंप्यूटर पर स्प्रेडशीट में B3:G3 जैसे कोष्ठिका व्यंजक और उपयुक्त सूत्र टाइप करके विद्यार्थियों के प्राप्तांकों तथा विषयों के औसत की गणना करते हैं।
• विद्यार्थी एक सप्ताह के लिए अपनी दैनिक गतिविधियों का अवलोकन करके 48 बक्सों वाली रंगीन पट्टिका बनाते हैं और उसमें व्यतीत औसत समय निकालते हैं।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 12 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. निम्नलिखित आंकड़ों के माध्य ज्ञात कीजिए: (i) पहली 50 प्राकृतिक संख्याएँ (ii) पहली 50 विषम संख्याएँ (iii) 4 के पहले 50 गुणज
उत्तर: (i) पहली 50 प्राकृतिक संख्याओं का योग = (50 × 51) / 2 = 1275
माध्य = 1275 / 50 = 25.5
(ii) पहली 50 विषम संख्याओं का योग = 50² = 2500
माध्य = 2500 / 50 = 50
(iii) 4 के पहले 50 गुणजों का योग = 4 × [(50 × 51) / 2] = 5100
माध्य = 5100 / 50 = 102

प्रश्न 2. कोच बलवान द्वारा 10 कुश्ती खिलाड़ियों के भार 42, 40, 39, 33, 48, 38, 42, 35, 32 और w kg का औसत 39.2 kg ज्ञात किया गया, तो लुप्त भार w का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: औसत = (42 + 40 + 39 + 33 + 48 + 38 + 42 + 35 + 32 + w) / 10 = 39.2
(349 + w) / 10 = 39.2 ⇒ 349 + w = 392 ⇒ w = 392 – 349 = 43 kg
अतः लुप्त भार 43 kg है।

प्रश्न 3. वेंकैया के खेत में प्रति वृक्ष नारियल की औसत फसल 25.6 पाई गई। 15 वृक्षों में से एक वृक्ष की फसल त्रुटिवश वास्तविक से 3 अधिक दर्ज हो गई थी, तो सही औसत फसल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: प्रारंभिक कुल नारियल = 25.6 × 15 = 384
वास्तविक कुल नारियल = 384 – 3 = 381
सही औसत फसल = 381 / 15 = 25.4 नारियल प्रति वृक्ष।

प्रश्न 4. संख्याओं 8, 13, 10, 4, 5, 20, y, 10 का माध्य 10.375 है। y का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: कुल संख्याएँ = 8
(8 + 13 + 10 + 4 + 5 + 20 + y + 10) / 8 = 10.375
(70 + y) / 8 = 10.375 ⇒ 70 + y = 83 ⇒ y = 83 – 70 = 13
अतः y का मान 13 है।

प्रश्न 5. 15 मानों वाले आंकड़ों के एक संग्रह का माध्य 134 है। आंकड़ों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: आंकड़ों का योग = माध्य × मानों की कुल संख्या = 134 × 15 = 2010
अतः आंकड़ों का योग 2010 है।

प्रश्न 6. श्रेयस ने कक्षा के 24 विद्यार्थियों की जूतों सहित औसत ऊँचाई 150.2 cm मापी। जूतों के कारण प्रत्येक की ऊँचाई 1 cm बढ़ी थी, तो कक्षा की सही औसत ऊँचाई क्या है?
उत्तर: चूँकि संग्रह के प्रत्येक मान में से 1 cm घटाया जाना है, अतः नया औसत = पुराना औसत – 1 = 150.2 – 1 = 149.2 cm (विकल्प घ: 149.2 cm)।

प्रश्न 7. आंकड़ों 12, 47, 8, 73, 18, 35, 39, 8, 29, 25, p की माध्यिका 29 है। दिए गए विकल्पों (10, 25, 40, 100, 29, 47, 30) में से p का मान क्या हो सकता है?
उत्तर: आंकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर (p के बिना): 8, 8, 12, 18, 25, 29, 35, 39, 47, 73 (10 मान)
11 मानों की माध्यिका 6ठा पद होती है
यदि p = 29 हो तो आरोही क्रम में 29 छठा पद ही रहेगा और माध्यिका 29 प्राप्त होगी
अतः p = 29।

प्रश्न 8. दी गई तालिका में कक्षा के 36 विद्यार्थियों के परिवारों के आकार की आवृत्तियाँ (3: 3, 4: 11, 5: 9, 6: 7, 7: 3, 8: 1, 9: 1, 10: 1) दी गई हैं। परिवारों के आकार की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
उत्तर: कुल पद n = 36
माध्यिका = 18वें और 19वें पद का औसत
संचयी आवृत्ति गणना: मान 3 तक 3 पद, मान 4 तक 3 + 11 = 14 पद, मान 5 तक 14 + 9 = 23 पद
अतः 18वाँ और 19वाँ दोनों पद 5 हैं
माध्यिका = (5 + 5) / 2 = 5।

प्रश्न 9. स्प्रेडशीट में किसी पंक्ति या स्तंभ की कोष्ठिकाओं के योग और औसत की गणना के लिए प्रयुक्त सूत्रों के उदाहरण दीजिए।
उत्तर: नागेश के सभी विषयों (B3 से G3) के कुल प्राप्तांक हेतु सूत्र `=SUM(B3:G3)` तथा गौरी के अंकों (B7 से D7) के औसत हेतु सूत्र `=AVERAGE(B7:D7)` का उपयोग किया जाता है।

प्रश्न 10. यदि n मानों का औसत a है और प्रत्येक मान में नियत संख्या 3 जोड़ी जाती है, तो सिद्ध कीजिए कि नया औसत क्या होगा।
उत्तर: प्रारंभिक औसत = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n = a
नया औसत = [(x₁ + 3) + (x₂ + 3) + … + (xₙ + 3)] / n = [(x₁ + x₂ + … + xₙ) + 3n] / n = a + 3
अतः नया औसत a + 3 (प्रारंभिक औसत से 3 अधिक) होगा।

प्रश्न 11. यदि n मानों का औसत a है और प्रत्येक मान को 5 से गुणा कर दिया जाता है, तो नए औसत का मान क्या होगा?
उत्तर: प्रारंभिक औसत = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n = a
नया औसत = (5x₁ + 5x₂ + … + 5xₙ) / n = 5 × [(x₁ + x₂ + … + xₙ)/n] = 5a
अतः नया औसत पूर्व औसत का 5 गुना (5a) होगा।

प्रश्न 12. दिए गए आंकड़ों— 8, 10, 19, 23, 26, 34, 40, 41, 41, 48, 51, 55, 70, 84, 91, 92 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
उत्तर: कुल मान n = 16 (सम संख्या)
माध्यिका = (8वाँ पद + 9वाँ पद) / 2 = (41 + 41) / 2 = 82 / 2 = 41
अतः आंकड़ों की माध्यिका 41 है।

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अन्य अध्याय

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FAQ

किसी आंकड़ा संग्रह में माध्य से बड़ा या छोटा नया मान सम्मिलित करने पर क्या प्रभाव पड़ता है?
जब माध्य से बड़ा कोई नया मान संग्रह में सम्मिलित किया जाता है तो नया माध्य बढ़ जाता है, और जब माध्य से छोटा मान सम्मिलित किया जाता है तो नया माध्य घट जाता है।

स्प्रेडशीट में कोष्ठिका (Cell) का नाम और कोष्ठिका समूह (Range) कैसे दर्शाया जाता है?
स्तंभ संकेतक (A, B, C) और पंक्ति संकेतक (1, 2, 3) के संयोजन से कोष्ठिका का नाम (जैसे E5) बनता है, तथा पहली और अंतिम कोष्ठिका के बीच कोलन लगाकर (जैसे B3:G3) समूह को दर्शाया जाता है।

आंकड़ों के दृश्यांकन में स्तंभ आलेख की तुलना में रेखा आलेख का उपयोग कब अधिक उपयुक्त होता है?
जब समय के साथ होने वाले निरंतर परिवर्तनों, प्रवृत्तियों और बड़े डेटा सेट को दर्शाना हो, तब रेखा आलेख अधिक स्पष्ट, व्यवस्थित और उपयुक्त होता है।

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