Class 8 Maths Chapter 13 in Hindi PDF: बीजगणित का खेल (गणित प्रकाश, भाग 2)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 6, बीजगणित का खेल: यह अध्याय बीजगणितीय समीकरणों, पहेलियों, संख्या पिरामिडों और ग्रिड खेल के माध्यम से बीजगणित की व्यावहारिक उपयोगिता को समझाने के बारे में है। इसमें मुक्ता और ऋजुप द्वारा गणतंत्र दिवस (26/01) की दिनांक बुझाने की युक्ति, करीम और जिन्न के बरगद वृक्ष की कहानी, तथा गौरी और नैना ग्वालिनों की गायों की तुलना जैसे उदाहरणों का प्रयोग किया गया है।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 13 (भाग 2 अध्याय 6) (बीजगणित का खेल): मुख्य बिंदु

6.2 युक्ति ‘एक संख्या सोचिए’ इसमें किसी सोची गई संख्या को दोगुना करने, 4 जोड़ने, 2 से भाग देने तथा मूल संख्या घटाने पर सदैव 2 प्राप्त होने की बीजगणितीय व्याख्या की गई है। इसके साथ ही मुक्ता और ऋजुप द्वारा माह को 5 से गुणा करने और दिनांक जोड़ने के चरणों (100M + 165 + D) से गणतंत्र दिवस (26/01) की तिथि ज्ञात की जाती है।

6.3 संख्या पिरामिड संख्या पिरामिड में प्रत्येक कोष्ठिका का मान उसके ठीक नीचे की दो संख्याओं का योगफल (जैसे a + b = 60) होता है। तीन पंक्तियों वाले पिरामिड के शीर्ष का मान a + 2b + c समीकरण द्वारा और विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम (1, 2, 3, 5, …) का उपयोग करके अज्ञात मान ज्ञात किए जाते हैं।

6.4 एवं 6.5 ग्रिड का जादू और सबसे बड़ा गुणनफल अगस्त 2025 के कैलेंडर की 2 × 2 ग्रिड का योगफल 4a + 16 = 36 होने पर प्रथम संख्या a = 5 (अर्थात 5, 6, 12, 13) प्राप्त होती है। अंक 2, 3, 5 से दो-अंकीय और एक-अंकीय गुणा में सबसे बड़ा गुणनफल 32 × 5 = 160 प्राप्त करने के लिए सबसे बड़े अंक को गुणक बनाया जाता है।

6.6 विभाज्यता की युक्तियाँ एवं पहेलियाँ किसी दो-अंकीय संख्या (ab) और उसके अंकों को पलटने पर बनी संख्या (ba) के अंतर 9(b – a) को 9 से तथा उनके योग 11(a + b) को 11 से विभाज्य सिद्ध किया गया है। अभ्यास में करीम द्वारा बरगद के पेड़ के चक्कर लगाने पर जिन्न को 8 सिक्के देने वाली कहानी तथा गौरी व नैना ग्वालिनों की गायों की पहेली को बीजगणित से हल किया जाता है।

अध्याय 13 के अभ्यास

• विद्यार्थी 2 × 2 कैलेंडर ग्रिड में दी गई चारों संख्याओं का योग बताकर बीजगणितीय समीकरण 4a + 16 से मूल संख्याएँ ज्ञात करने का अभ्यास करते हैं।
• विद्यार्थी दी गई संख्याओं 3, 5, 9 तथा 1, 3, 7 का उपयोग करके सबसे बड़ा संभव गुणनफल प्राप्त करने के लिए अंकों का सही क्रम निर्धारित करते हैं।
• विद्यार्थी फार्म में 55 सिरों और 150 पैरों वाले घोड़ों व मुर्गियों की संख्या तथा करीम और जिन्न की कहानी में प्रारंभिक सिक्कों की संख्या ज्ञात करते हैं।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 13 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. दिनांक सोचने की युक्ति में उन तिथियों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए अंतिम परिणाम निम्नलिखित हैं: (i) 1269 (ii) 394 (iii) 296
उत्तर: सूत्र: 100M + D = अंतिम परिणाम – 165
(i) 1269 – 165 = 1104 ⇒ माह M = 11, दिनांक D = 04 (4 नवंबर)
(ii) 394 – 165 = 229 ⇒ माह M = 2, दिनांक D = 29 (29 फ़रवरी)
(iii) 296 – 165 = 131 ⇒ माह M = 1, दिनांक D = 31 (31 जनवरी)

प्रश्न 2. तीन पंक्तियों वाले और चार पंक्तियों वाले संख्या पिरामिडों की निम्नतम पंक्ति की संख्याओं के लिए पूरे पिरामिड की रचना किए बिना शीर्ष संख्या ज्ञात कीजिए: (i) 8, 13, 4 (ii) 11, 3, 7 (iii) 14, 2, 5, 10
उत्तर: (i) तीन पंक्तियों हेतु शीर्ष = a + 2b + c = 8 + 2(13) + 4 = 8 + 26 + 4 = 38
(ii) शीर्ष = 11 + 2(3) + 7 = 11 + 6 + 7 = 24
(iii) चार पंक्तियों हेतु शीर्ष = a + 3b + 3c + d = 14 + 3(2) + 3(5) + 10 = 14 + 6 + 15 + 10 = 45

प्रश्न 3. दिए गए अंकों का एक-एक बार उपयोग करके सबसे बड़ा संभव गुणनफल ___ × ___ ज्ञात कीजिए: (i) अंक 1, 3 व 7 (ii) अंक 3, 5 व 9
उत्तर: सबसे बड़े अंक को गुणक और शेष अंकों को घटते क्रम में गुण्य बनाने पर:
(i) अंक 1, 3 व 7 हेतु: 31 × 7 = 217
(ii) अंक 3, 5 व 9 हेतु: 53 × 9 = 477

प्रश्न 4. किसी दो-अंकीय संख्या ab के अंकों का क्रम उलटकर बनी संख्या ba के अंतर में 9 से विभाजित करने पर भागफल क्या प्राप्त होता है?
उत्तर: संख्या ab = 10a + b और ba = 10b + a का अंतर (10b + a) – (10a + b) = 9(b – a) होता है
इसे 9 से विभाजित करने पर भागफल (b – a) प्राप्त होता है, जो कि मूल संख्या के दोनों अंकों का अंतर है।

प्रश्न 5. किसी 2-अंकीय संख्या और उसके अंकों को परस्पर बदलने से प्राप्त संख्या के योगफल की बीजगणितीय व्याख्या कीजिए।
उत्तर: माना संख्या ab (10a + b) है और अंकों को बदलने पर बनी संख्या ba (10b + a) है
योगफल = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)
यह योगफल सदैव 11 से विभाज्य होता है और भागफल अंकों का योग (a + b) प्राप्त होता है।

प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि किसी 3-अंकीय संख्या abc के अंकों के चक्रानुक्रम से बनी संख्याओं bca और cab का योगफल सदैव 37 और 3 से विभाज्य होता है।
उत्तर: abc = 100a + 10b + c, bca = 100b + 10c + a, cab = 100c + 10a + b
योगफल = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c) = 37 × 3 × (a + b + c)
चूँकि योगफल में 37 और 3 का गुणनखंड है, अतः यह 37 और 3 दोनों से सदैव पूर्णतः विभाज्य है।

प्रश्न 7. किसी 3-अंकीय संख्या abc को दोहराकर बनी 6-अंकीय संख्या abcabc को 7, 11 और 13 से क्रमशः विभाजित करने पर क्या प्राप्त होता है और क्यों?
उत्तर: संख्या abcabc = abc × 1000 + abc = abc × 1001
चूँकि 1001 = 7 × 11 × 13 होता है, अतः 7, 11 और 13 के गुणनफल 1001 से विभाजित करने पर सदैव मूल 3-अंकीय संख्या abc ही प्राप्त होती है।

प्रश्न 8. एक फार्म में कुछ घोड़े और मुर्गियाँ हैं। यदि सिरों की कुल संख्या 55 और पैरों की कुल संख्या 150 है, तो घोड़ों और मुर्गियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर: माना घोड़ों की संख्या = h और मुर्गियों की संख्या = c
सिरों का समीकरण: h + c = 55 ⇒ c = 55 – h
पैरों का समीकरण: 4h + 2c = 150 ⇒ 4h + 2(55 – h) = 150 ⇒ 4h + 110 – 2h = 150 ⇒ 2h = 40 ⇒ h = 20
मुर्गियाँ c = 55 – 20 = 35
उत्तर: फार्म में 20 घोड़े और 35 मुर्गियाँ हैं।

प्रश्न 9. एक माता की आयु पुत्री की आयु की 5 गुना है। 6 वर्ष पश्चात माता की आयु पुत्री की आयु की 3 गुना हो जाएगी। पुत्री की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
उत्तर: माना पुत्री की वर्तमान आयु = x वर्ष, तो माता की आयु = 5x वर्ष
6 वर्ष पश्चात: माता की आयु = 5x + 6 और पुत्री की आयु = x + 6
प्रश्न अनुसार: 5x + 6 = 3(x + 6) ⇒ 5x + 6 = 3x + 18 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6
उत्तर: पुत्री की वर्तमान आयु 6 वर्ष है।

प्रश्न 10. गौरी के पास नैना से आधी गाएँ हैं। यदि नैना अपनी 3 गाएँ गौरी को दे दे तो दोनों के पास समान गाएँ हो जाएँगी। दोनों के पास कितनी गाएँ हैं?
उत्तर: माना गौरी की गाएँ = g, तो नैना की गाएँ n = 2g
3 गाएँ स्थानांतरण के पश्चात: g + 3 = n – 3
n = 2g प्रतिस्थापित करने पर: g + 3 = 2g – 3 ⇒ 2g – g = 3 + 3 ⇒ g = 6
नैना की गाएँ n = 2 × 6 = 12
उत्तर: गौरी के पास 6 गाएँ और नैना के पास 12 गाएँ हैं।

प्रश्न 11. डोसा विक्रेता का प्रतिदिन गाड़ी किराया ₹5000 तथा प्रति डोसा लागत ₹10 है: (i) 100 डोसे बेचकर ₹2000 लाभ हेतु विक्रय मूल्य क्या हो? (ii) ₹50 प्रति डोसा विक्रय मूल्य पर ₹2000 लाभ हेतु कितने डोसे बेचने होंगे?
उत्तर: (i) कुल लागत = 5000 + (100 × 10) = ₹6000
कुल आय = 6000 + 2000 = ₹8000
प्रति डोसा विक्रय मूल्य = 8000 / 100 = ₹80
(ii) प्रति डोसा शुद्ध लाभ = 50 – 10 = ₹40
कुल वांछित राशि = 5000 + 2000 = ₹7000
डोसे की संख्या = 7000 / 40 = 175 डोसे।

प्रश्न 12. करीम बरगद के पेड़ का प्रत्येक चक्कर लगाने पर जेब के सिक्के दोगुने करता है और जिन्न को 8 सिक्के देता है। 3 चक्करों के बाद उसके पास केवल 8 सिक्के बचते हैं (जो जिन्न को दे देता है)। उसके पास आरंभ में कितने सिक्के थे?
उत्तर: माना प्रारंभिक सिक्के = x
प्रथम चक्कर के बाद = 2x – 8
द्वितीय चक्कर के बाद = 2(2x – 8) – 8 = 4x – 24
तृतीय चक्कर के बाद = 2(4x – 24) – 8 = 8x – 56
तृतीय चक्कर के बाद 8 सिक्के देने पर 0 बचता है: 8x – 56 = 0 ⇒ 8x = 56 ⇒ x = 7
उत्तर: करीम के पास आरंभ में 7 सिक्के थे।

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FAQ

‘एक संख्या सोचिए’ पहेली के पीछे बीजगणित कैसे काम करता है?
सोची गई अज्ञात संख्या को ‘x’ मानकर उस पर दिए गए गणितीय चरणों को चर के रूप में लिखा जाता है। हल करने पर चर ‘x’ निरस्त हो जाता है और केवल एक अचर संख्या (जैसे 2) बचती है जो सदैव समान उत्तर देती है।

तीन पंक्तियों वाले संख्या पिरामिड के शीर्ष का मान ज्ञात करने का क्या सूत्र है?
यदि सबसे निचली पंक्ति की तीन संख्याएँ a, b और c हों, तो मध्य पंक्ति में (a + b) और (b + c) बनते हैं। इन दोनों को जोड़ने पर सबसे ऊपरी शीर्ष का मान a + 2b + c प्राप्त होता है।

दो अंकों की संख्या और उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या के अंतर की क्या विशेषता है?
यदि दो अंकों की संख्या ab (10a + b) के अंकों का क्रम बदलकर ba (10b + a) बनाया जाए, तो उनका अंतर सदैव 9(b – a) होता है जो कि 9 से पूर्णतः विभाज्य है।

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