Class 8 Maths Chapter 14 in Hindi PDF: क्षेत्रफल (गणित प्रकाश, भाग 2)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 7, क्षेत्रफल: यह अध्याय आयत, वर्ग, त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, समलंब और बहुभुज के क्षेत्रफल तथा विच्छेदन की संकल्पनाओं को समझाने के बारे में है। इसमें सौंदर्यपूर्ण रंगोली के रंगों, गोपाल द्वारा घर से नदी होकर जल टैंक तक जाने के सबसे छोटे मार्ग, सर्पिलाकार नलिका, तथा प्राचीन ग्रंथ शुल्बसूत्र और यूक्लिड की पुस्तक एलिमेंट्स में वर्णित विच्छेदन विधियों का उपयोग किया गया है।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 14 (भाग 2 अध्याय 7) (क्षेत्रफल): मुख्य बिंदु

7.1 आयत और वर्ग एक वर्ग को समान क्षेत्रफल के 4 भागों में विभाजित करने की अनंत विधियाँ हो सकती हैं, जैसे संपीड़न और विस्तार द्वारा प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल समान रखना। 7 cm × 4 cm भुजा वाले आयत का क्षेत्रफल 28 cm² और 8 cm × 3 cm भुजा वाले आयत का क्षेत्रफल 24 cm² होता है, जिससे 7 cm × 4 cm आयत को रंगने में अधिक रंग लगता है।

त्रिभुज और उसके अनुप्रयोग किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊँचाई होता है तथा आयत का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है। किसी त्रिभुज की माध्यिका (शीर्ष से सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु को जोड़ने वाली रेखा) उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है और समतल दर्पण के परावर्तन नियम से समान आधार तथा समांतर रेखाओं के मध्य न्यूनतम परिमाप वाला त्रिभुज प्राप्त किया जाता है।

बहुभुज, समांतर चतुर्भुज और समचतुर्भुज किसी भी बहुभुज (जैसे चतुर्भुज या पंचभुज) को विकर्ण खींचकर त्रिभुजों में विभाजित करके उसका क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है। विच्छेदन (आकृति को टुकड़ों में काटकर पुनः व्यवस्थित करना) द्वारा समांतर चतुर्भुज को समान आधार व ऊँचाई वाले आयत में बदलकर उसका क्षेत्रफल (आधार × ऊँचाई) निकाला जाता है, तथा समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ½ × विकर्णों का गुणनफल होता है।

समलंब चतुर्भुज और विच्छेदन विधियाँ समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ½ × ऊँचाई × (समांतर भुजाओं का योग) होता है, जिसे आयत व त्रिभुज में बाँटकर या दो सर्वसम समलंबों को BC के अनुदिश मिलाकर समांतर चतुर्भुज बनाकर व्युत्पन्न किया जाता है। शुल्बसूत्र और यूक्लिड के एलिमेंट्स ग्रंथों में समलंब, समद्विबाहु त्रिभुज व आयत को विच्छेदन द्वारा एक-दूसरे के समान क्षेत्रफल वाली आकृतियों में परिवर्तित करने के अनेक तरीके दिए गए हैं।

अध्याय 14 के अभ्यास

• विद्यार्थी 20, 15, 10, 5 इकाई भुजाओं वाली सर्पिलाकार नलिका को सीधी नलिका में बदलकर उसके क्षेत्रफल और लंबाई की तुलना करते हैं।
• विद्यार्थी गत्ते या मोटे चार्ट पेपर के वर्गाकार टुकड़े में दो लंब रेखाएँ खींचकर उसे 4 भागों में काटते हैं और उन्हें पुनः व्यवस्थित करके बीच में छिद्र वाला बड़ा वर्ग बनाते हैं।
• विद्यार्थी गोपाल के घर से नदी जाकर जल टैंक तक पहुँचने का सबसे छोटा मार्ग चिन्हित करने के लिए अपनी अभ्यास पुस्तिका में कच्चा मानचित्र बनाते हैं।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 14 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. यदि त्रिभुज ΔABC में आधार BC = 5 इकाई, शीर्षलंब AX = 3 इकाई तथा भुजा AC = 4 इकाई है, तो शीर्षलंब BY की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ΔABC का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × BC × AX = 1/2 × 5 × 3 = 15/2 वर्ग इकाई
भुजा AC को आधार लेने पर क्षेत्रफल = 1/2 × AC × BY = 1/2 × 4 × BY = 2 BY
2 BY = 15/2 ⇒ BY = 15/4 = 3.75 इकाई
उत्तर: 3.75 इकाई।

प्रश्न 2. ΔSUB एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें SE, आधार UB पर लंब है। यदि ΔSEB का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है तो ΔSUB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समद्विबाहु त्रिभुज SUB में शीर्षलंब SE आधार UB को दो समान भागों में बाँटता है, जिससे ΔSEB ≅ ΔSEU प्राप्त होता है
अतः ΔSEU का क्षेत्रफल = ΔSEB का क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाई
ΔSUB का क्षेत्रफल = 24 + 24 = 48 वर्ग इकाई
उत्तर: 48 वर्ग इकाई।

प्रश्न 3. चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ विकर्ण AC = 22 cm तथा शीर्षलंब BM = 3 cm और DN = 3 cm (दोनों AC पर लंब) हैं।
उत्तर: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔADC का क्षेत्रफल
= (1/2 × AC × BM) + (1/2 × AC × DN) = (1/2 × 22 × 3) + (1/2 × 22 × 3) = 33 + 33 = 66 cm²
उत्तर: 66 cm²।

प्रश्न 4. आयत ABCD (लंबाई 18 cm, चौड़ाई 10 cm) में बिंदु E, AB पर इस प्रकार है कि AE = 10 cm, EB = 8 cm तथा बिंदु F, BC पर है जहाँ BF = 6 cm है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: आयत ABCD का क्षेत्रफल = 18 × 10 = 180 cm²
समकोण ΔADE का क्षेत्रफल = 1/2 × AD × AE = 1/2 × 10 × 10 = 50 cm²
समकोण ΔEBF का क्षेत्रफल = 1/2 × EB × BF = 1/2 × 8 × 6 = 24 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 180 – (50 + 24) = 180 – 74 = 106 cm²
उत्तर: 106 cm²।

प्रश्न 5. निम्नलिखित आधार और ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) आधार = 7 cm, ऊँचाई = 4 cm (ii) आधार = 5 cm, ऊँचाई = 3 cm (iii) आधार = 2 cm, ऊँचाई = 4.4 cm (iv) आधार = 5 cm, ऊँचाई = 4.8 cm
उत्तर: (i) क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = 7 × 4 = 28 cm²
(ii) क्षेत्रफल = 5 × 3 = 15 cm²
(iii) क्षेत्रफल = 2 × 4.4 = 8.8 cm²
(iv) क्षेत्रफल = 5 × 4.8 = 24 cm²।

प्रश्न 6. समांतर चतुर्भुज PQRS में SR = 12 cm, शीर्षलंब QM = 7.6 cm (SR पर लंब) तथा भुजा PS = 6 cm है। शीर्षलंब QN (PS पर लंब) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समांतर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = SR × QM = 12 × 7.6 = 91.2 cm²
भुजा PS को आधार लेने पर क्षेत्रफल = PS × QN = 6 × QN
6 × QN = 91.2 ⇒ QN = 91.2 / 6 = 15.2 cm
उत्तर: QN = 15.2 cm।

प्रश्न 7. यदि M और N क्रमशः ΔXYZ की भुजाओं XY और XZ के मध्य बिंदु हैं, तो ΔXYZ के क्षेत्रफल का कितना अंश ΔXMN का क्षेत्रफल है?
उत्तर: M और N मध्य बिंदु होने के कारण रेखाखंड MN || YZ और MN = 1/2 YZ होता है
ΔXMN की ऊँचाई ΔXYZ की ऊँचाई की आधी (1/2 h) होती है
ΔXMN का क्षेत्रफल = 1/2 × (1/2 YZ) × (1/2 h) = 1/4 × (1/2 × YZ × h) = 1/4 × ΔXYZ का क्षेत्रफल
उत्तर: 1/4 अंश (चौथाई भाग)।

प्रश्न 8. उस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्णों की लंबाइयाँ 20 cm और 15 cm हैं।
उत्तर: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्णों का गुणनफल = 1/2 × 20 × 15 = 10 × 15 = 150 cm²
उत्तर: 150 cm²।

प्रश्न 9. समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी समांतर भुजाएँ 10 ft तथा 16 ft हैं और उनके बीच की ऊँचाई 8 ft है।
उत्तर: सूत्र: समलंब का क्षेत्रफल = 1/2 × ऊँचाई × (समांतर भुजाओं का योग)
= 1/2 × 8 × (10 + 16) = 4 × 26 = 104 sq ft
उत्तर: 104 वर्ग फीट (sq ft)।

प्रश्न 10. समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी समांतर भुजाएँ 24 m और 36 m हैं तथा ऊँचाई 14 m है।
उत्तर: सूत्र: समलंब का क्षेत्रफल = 1/2 × ऊँचाई × (समांतर भुजाओं का योग)
= 1/2 × 14 × (24 + 36) = 7 × 60 = 420 m²
उत्तर: 420 m²।

प्रश्न 11. समान भुजा 'a' वाले एक समबाहु त्रिभुज और एक वर्ग में से किसका क्षेत्रफल अधिक होगा? क्या दो सर्वांगसम समबाहु त्रिभुजों का संयुक्त क्षेत्रफल इस वर्ग के क्षेत्रफल से अधिक हो सकता है?
उत्तर: माना भुजा की लंबाई = a
वर्ग का क्षेत्रफल = a²
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4)a² ≈ 0.433 a²
चूँकि a² > 0.433 a² है, अतः वर्ग का क्षेत्रफल त्रिभुज से अधिक होगा
दो सर्वांगसम समबाहु त्रिभुजों का संयुक्त क्षेत्रफल = 2 × (√3/4)a² = (√3/2)a² ≈ 0.866 a²
चूँकि 0.866 a² < a² है, अतः वर्ग का क्षेत्रफल दो समबाहु त्रिभुजों के संयुक्त क्षेत्रफल से भी अधिक है।

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FAQ

क्या दो आकृतियों का परिमाप समान होने पर उनका क्षेत्रफल भी समान होता है?
नहीं, किसी क्षेत्र का परिमाप उसके क्षेत्रफल का सूचक नहीं होता; समान परिमाप वाली आकृतियों के क्षेत्रफल भिन्न-भिन्न हो सकते हैं और भिन्न परिमाप वाली आकृतियों के क्षेत्रफल समान हो सकते हैं।

विच्छेदन (Dissection) का गणित में क्या अर्थ है?
किसी आकृति को टुकड़ों में काटना और समान क्षेत्रफल की भिन्न आकृति प्राप्त करने के लिए उन टुकड़ों को पुनः व्यवस्थित करना विच्छेदन कहलाता है।

समलंब चतुर्भुज (Trapezium) का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र क्या है और इसे कैसे सिद्ध किया जाता है?
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ½ × ऊँचाई × (समांतर भुजाओं का योगफल) होता है। इसे समलंब को एक आयत व त्रिभुज में विभाजित करके या दो समान समलंबों को जोड़कर समांतर चतुर्भुज बनाकर सिद्ध किया जा सकता है।

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