Class 8 Maths Chapter 11 in Hindi PDF: कुछ ज्यामितीय संरचनाओं की खोज (गणित प्रकाश, भाग 2)

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 4, कुछ ज्यामितीय संरचनाओं की खोज: यह अध्याय खंडक (फ्रैक्‍टल) जैसी स्व-समरूप ज्यामितीय आकृतियों और ठोस वस्तुओं के दृश्यांकन तथा निर्माण को समझाने के बारे में है। इसमें फर्न्स के पौधे, सिएरपिंस्की चटाई व गैस्केट, कोच हिमकण, खजुराहो के कंदरिया महादेव मंदिर, तथा घनाभ पर चींटी और लड्डू के सबसे छोटे मार्ग जैसे उदाहरणों का उपयोग किया गया है।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 11 (भाग 2 अध्याय 4) (कुछ ज्यामितीय संरचनाओं की खोज): मुख्य बिंदु

4.1 खंडक (Fractals) प्रकृति में फर्न्स की पत्तियां और 1025 सामान्य संवत में निर्मित खजुराहो का कंदरिया महादेव मंदिर खंडक के उत्कृष्ट उदाहरण हैं। सिएरपिंस्की चटाई में nवें चरण में शेष वर्गों की संख्या Rn = 8ⁿ तथा छिद्रों की संख्या Hn होती है, जबकि सिएरपिंस्की त्रिभुज और कोच हिमकण अन्य प्रमुख गणितीय खंडक हैं।

4.2 ठोसों का दृश्यांकन किसी ठोस वस्तु को अलग-अलग प्रेक्षण बिंदुओं से देखने पर उसका बाह्य रेखाचित्र भिन्न-भिन्न दिखाई देता है। उदाहरण के लिए, एक बेलन एक प्रेक्षण बिंदु से आयताकार और दूसरे से वृत्ताकार दिखता है, जबकि शंकु एक दिशा से त्रिभुजाकार और दूसरी दिशा से वृत्ताकार दिखता है।

ठोसों का निर्माण और जाल (Nets) घनाभ, सम चतुष्फलक, बेलन, शंकु, प्रिज्म और पिरामिड को द्विविमीय गत्ते या कागज के जाल को मोड़कर बनाया जा सकता है। एक घन के कुल 11 संभावित अद्वितीय जाल होते हैं तथा सम चतुष्फलक के 2 जाल होते हैं, और घनाभ पर चींटी से लड्डू तक का न्यूनतम मार्ग जाल को सही प्रकार से खोलने पर प्राप्त होता है।

समतल तल पर ठोस का निरूपण (प्रक्षेप) किसी वस्तु को देखने की दिशा के आधार पर ऊर्ध्वाधर तल के प्रक्षेप को अग्र दृश्य, क्षैतिज तल के प्रक्षेप को ऊर्ध्व दृश्य तथा पार्श्वीय तल के प्रक्षेप को पार्श्व दृश्य कहते हैं। धूप में किसी समानांतर चतुर्भुज के कटआउट को किसी भी कोण पर घुमाने पर सूर्य की किरणों से बनने वाली छाया हमेशा समानांतर चतुर्भुज ही रहती है।

अध्याय 11 के अभ्यास

• विद्यार्थी वर्गाकार कागज से सिएरपिंस्की चटाई और समबाहु त्रिभुज से सिएरपिंस्की गैस्केट के चरण 2 तक के कटआउट चित्र तैयार करते हैं।
• विद्यार्थी दिए गए मापों (जैसे 5 cm, 3 cm, 1 cm) वाले घनाभ तथा घन के द्विविमीय जाल बनाकर उनसे खोखले ठोसों का निर्माण करते हैं।
• विद्यार्थी समदूरिक ग्रिड (Isometric grid) पेपर पर समान घनों को जोड़कर बनी आकृतियों के अग्र, ऊर्ध्व तथा पार्श्व दृश्य चित्रित करते हैं।

कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 11 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. सिएरपिंस्की चटाई के nवें चरण में शेष वर्गों की संख्या Rn ज्ञात करने का सूत्र क्या है तथा R₂ का मान कितना होगा?
उत्तर: nवें चरण में शेष वर्गों की संख्या का सूत्र Rn = 8ⁿ होता है
n = 2 रखने पर R₂ = 8² = 64 वर्ग प्राप्त होते हैं।

प्रश्न 2. सिएरपिंस्की चटाई के nवें चरण में वर्गाकार छिद्रों की संख्या Hn का सूत्र क्या है तथा H₃ का मान क्या होगा?
उत्तर: nवें चरण में छिद्रों की संख्या Hn = 1 + 8 + 8² + … + 8ⁿ⁻¹ होती है
n = 3 के लिए H₃ = 1 + 8 + 8² = 1 + 8 + 64 = 73 छिद्र प्राप्त होते हैं।

प्रश्न 3. एक घन अथवा घनाभ में कितने फलक (Faces), किनारे (Edges) और शीर्ष (Vertices) होते हैं?
उत्तर: एक घन अथवा घनाभ में 6 फलक, 12 किनारे (कोरे) तथा 8 शीर्ष होते हैं।

प्रश्न 4. यदि एक प्रिज्म के आधार बहुभुज में 10 भुजाएँ हैं (n = 10), तो इस प्रिज्म में कितने फलक, कोरे तथा शीर्ष होंगे?
उत्तर: n-भुजाओं वाले आधार के प्रिज्म में फलक = n + 2, कोरे = 3n तथा शीर्ष = 2n होते हैं
n = 10 के लिए फलक = 10 + 2 = 12, कोरे = 3 × 10 = 30 तथा शीर्ष = 2 × 10 = 20 होंगे।

प्रश्न 5. यदि एक पिरामिड के आधार में 10 भुजाएँ हैं (n = 10), तो इस पिरामिड के कितने फलक, कोरे तथा शीर्ष होंगे?
उत्तर: n-भुजाओं वाले आधार के पिरामिड में फलक = n + 1, शीर्ष = n + 1 तथा कोरे = 2n होते हैं
n = 10 के लिए फलक = 10 + 1 = 11, शीर्ष = 10 + 1 = 11 तथा कोरे = 2 × 10 = 20 होंगे।

प्रश्न 6. एक घन को समतल पर खोलने पर उसके कुल कितने संभावित अद्वितीय जाल (Nets) प्राप्त होते हैं?
उत्तर: एक घन के कुल 11 संभावित अद्वितीय जाल प्राप्त होते हैं।

प्रश्न 7. एक सम चतुष्फलक (Regular Tetrahedron) के कुल कितने संभावित जाल होते हैं?
उत्तर: एक सम चतुष्फलक के केवल 2 संभावित जाल होते हैं।

प्रश्न 8. गणितज्ञों द्वारा ज्ञात एक द्वादशफलक (Dodecahedron) के कुल कितने संभावित जाल होते हैं?
उत्तर: एक द्वादशफलक के कुल 43,380 संभावित जाल होते हैं।

प्रश्न 9. किसी बेलन को उसकी ऊँचाई के अनुदिश काटने पर प्राप्त आयत की भुजाओं की लंबाई क्या होती है?
उत्तर: प्राप्त आयत की एक भुजा बेलन की ऊँचाई (h) तथा दूसरी भुजा बेलन के वृत्ताकार आधार की परिधि (2πr) के बराबर होती है।

प्रश्न 10. घनाभ की सतह पर चींटी और लड्डू के मध्य सबसे छोटे मार्ग d की लंबाई (24 cm तथा 32 cm की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से) बौधायन प्रमेय द्वारा ज्ञात कीजिए।
उत्तर: बौधायन प्रमेय से d² = 24² + 32² = 576 + 1024 = 1600
d = √1600 = 40 cm
अतः चींटी से लड्डू के मध्य सबसे छोटा मार्ग 40 cm है।

प्रश्न 11. 4 स्तरों वाले एकसमान घनों के ढेर में घनों की कुल संख्या कितनी होगी?
उत्तर: स्तर 1 (शीर्ष) = 1, स्तर 2 = 3, स्तर 3 = 6, स्तर 4 (आधार) = 10
कुल घनों की संख्या = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 घन।

प्रश्न 12. किसी त्रि-विमीय ठोस वस्तु के अग्र दृश्य (Front View), ऊर्ध्व दृश्य (Top View) और पार्श्व दृश्य (Side View) किन-किन तलों पर बने प्रक्षेपों को कहते हैं?
उत्तर: ऊर्ध्वाधर तल पर बने प्रक्षेप को अग्र दृश्य, क्षैतिज तल पर बने प्रक्षेप को ऊर्ध्व दृश्य तथा पार्श्वीय तल पर बने प्रक्षेप को पार्श्व दृश्य कहते हैं।

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अन्य अध्याय

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FAQ

खंडक (फ्रैक्‍टल/Fractal) क्या हैं और इनका प्रकृति या वास्तुकला में क्या उदाहरण है?
खंडक वे स्व-समरूप ज्यामितीय संरचनाएं हैं जो सूक्ष्म तथा अति सूक्ष्म माप पर बारंबार समरूप प्रतिरूपों को प्रदर्शित करती हैं। प्रकृति में फर्न्स का पौधा तथा वास्तुकला में मध्य प्रदेश स्थित खजुराहो का कंदरिया महादेव मंदिर इसके प्रमुख उदाहरण हैं।

ठोसों का ‘जाल’ (Net) क्या होता है और एक घन के कितने जाल संभव हैं?
जाल किसी त्रि-विमीय खोखले ठोस को खोलने पर बनी द्विविमीय आकृति होती है जिसे मोड़कर पुनः वह ठोस बनाया जा सकता है। एक घन के कुल 11 संभावित अद्वितीय जाल होते हैं।

त्रि-विमीय ठोसों के प्रक्षेप (Projections) में अग्र, ऊर्ध्व और पार्श्व दृश्य क्या दर्शाते हैं?
ऊर्ध्वाधर तल पर सामने से देखने पर बना प्रक्षेप अग्र दृश्य (Front view), ऊपर से क्षैतिज तल पर बना प्रक्षेप ऊर्ध्व दृश्य (Top view) और बगल से बना प्रक्षेप पार्श्व दृश्य (Side view) कहलाता है। ये समतल पृष्ठ पर त्रि-विमीय ठोसों का निरूपण करने में सहायता करते हैं।

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