Class 5 Maths Chapter 13 in Hindi PDF: जानवरों की छलाँग (गणित मेला)

कक्षा 5 गणित मेला अध्याय 13, जानवरों की छलाँग: यह अध्याय गुणज (multiples), गुणनखंड (factors), उभयनिष्ठ गुणज (common multiples) तथा उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factors) की गणितीय अवधारणाओं को समझाता है । इसमें बक्से से निकलने वाली संख्याओं के खेल, खरगोश (रॉबी) व मेंढक की छलाँगों तथा मोगली द्वारा जंगल के मार्ग (पगडंडी) पर बालू, शेरखान, बाघेरा, का और अकेला से मिलने के अनुभवों का उपयोग किया गया है ।

कक्षा 5 गणित मेला अध्याय 13 (जानवरों की छलाँग): मुख्य बिंदु

छुपी हुई संख्याएँ और गुणनखंड-व्यूह एक बक्से से बाहर निकलने वाली संख्याएँ 28, 36, 48 और 72 गुणक संख्या 4 से गुणा होकर आती हैं, जहाँ 1, 2 और 4 इनके उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं । किसी संख्या को व्यूह (array) में व्यवस्थित करने पर उसके गुणनखंड प्राप्त होते हैं, जैसे संख्या 12 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं ।

जानवरों की छलाँग और उभयनिष्ठ गुणज एक खरगोश प्रति बार 4 की छलाँग लगाता है और एक मेंढक प्रति बार 3 की छलाँग लगाता है, जिससे संख्या-रेखा पर दोनों का पहला उभयनिष्ठ गुणज 12 प्राप्त होता है । इसी प्रकार 3 की छलाँग लगाने वाली मकड़ी और 6 की छलाँग लगाने वाले टिड्डे के पहले दो उभयनिष्ठ गुणज 6 और 12 होते हैं ।

मोगली की पगडंडी और उभयनिष्ठ गुणनखंड मोगली 0 से आरंभ कर 2-2 कदमों की छलाँग लगाकर 4, 12, 14 और 50 स्थान पर मौजूद अपने मित्रों से मिलता है, जिसका उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है । 3-3 कदमों की छलाँग लगाने पर वह 9, 21, 39 और 57 स्थान पर स्थित मित्रों से मिलता है, जिनका उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है ।

व्यावहारिक पहेलियाँ और विभाज्यता नियम ‘शेरखान’ नाम का बाघ प्रत्येक तीसरे दिन और ‘बाघेरा’ नाम का तेंदुआ प्रत्येक पाँचवे दिन शिकार पर जाता है, जिससे वे दोनों 15वें दिन एक साथ शिकार पर जाएँगे । संख्या 25 पर शेरखान के घर से बचते हुए संख्या 30 पर बालू भालू के घर पहुँचने के लिए मोगली को 6-6 कदमों की छलाँग चुननी होती है ।

अध्याय 13 के अभ्यास

• विद्यार्थी 2 और 3, 5 और 8, तथा 6 और 8 जैसे विभिन्न संख्या-युग्मों के 5-5 उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात करते हैं ।
• छात्र 12 और 16, 8 और 12, तथा 9 और 21 जैसे संख्या-युग्मों के उभयनिष्ठ गुणनखंडों की सूची बनाते हैं ।
• विद्यार्थी 90, 45, 84, 22, 66 जैसी दी गई संख्याओं में से केवल 2 से, केवल 5 से, केवल 10 से तथा 2, 5 व 10 तीनों से विभाज्य संख्याएँ छाँटकर अलग करते हैं ।

कक्षा 5 गणित मेला अध्याय 13 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. नीचे दिए गए संख्या-युग्म 2 और 3 के पहले 5 उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 2 के गुणज = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
3 के गुणज = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
उभयनिष्ठ गुणज = 6, 12, 18, 24, 30
उत्तर: 2 और 3 के पहले 5 उभयनिष्ठ गुणज 6, 12, 18, 24 और 30 हैं।

प्रश्न 2. मोगली पगडंडी पर 0 से प्रारंभ करके यदि 2-2 कदमों की छलाँग लगाता है, तो वह संख्या 4, 12, 14 और 50 पर स्थित मित्रों से मिल पाता है। 2 का इन संख्याओं से क्या संबंध है?
उत्तर: 2 से विभाजित करने पर: 4 ÷ 2 = 2, 12 ÷ 2 = 6, 14 ÷ 2 = 7, 50 ÷ 2 = 25
सभी संख्याएँ 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं
उत्तर: 2 संख्या 4, 12, 14 और 50 का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) है।

प्रश्न 3. क्या हम 0 से प्रारंभ करके 2 कदमों की छलाँग लगाते हुए 24 और 36 दोनों पर पहुँच सकते हैं? 2 का 24 और 36 से क्या संबंध है?
उत्तर: 24 ÷ 2 = 12 और 36 ÷ 2 = 18
दोनों संख्याएँ 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं
उत्तर: हाँ, हम 24 और 36 दोनों पर पहुँच सकते हैं, तथा 2 संख्याओं 24 और 36 का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

प्रश्न 4. संख्या 12 और 13 के उभयनिष्ठ गुणनखंड कौन-कौन से हैं?
उत्तर: 12 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
13 के गुणनखंड = 1, 13
उभयनिष्ठ गुणनखंड = 1
उत्तर: 12 और 13 का एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 है।

प्रश्न 5. 4 कदमों की छलाँग द्वारा दी गई संख्याओं 0, 10, 16, 27, 36, 48 में से किन-किन संख्याओं पर पहुँचा जा सकता है?
उत्तर: 0 ÷ 4 = 0, 16 ÷ 4 = 4, 36 ÷ 4 = 9, 48 ÷ 4 = 12 (10 और 27, 4 से विभाज्य नहीं हैं)
उत्तर: 0, 16, 36 और 48 पर पहुँचा जा सकता है क्योंकि 4 इन संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

प्रश्न 6. नीचे दिए गए संख्या-युग्मों (क) 12 और 16 तथा (ख) 8 और 12 के उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
उत्तर: (क) 12 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12 एवं 16 के गुणनखंड = 1, 2, 4, 8, 16
उभयनिष्ठ गुणनखंड = 1, 2, 4
(ख) 8 के गुणनखंड = 1, 2, 4, 8 एवं 12 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
उभयनिष्ठ गुणनखंड = 1, 2, 4।

प्रश्न 7. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं: (क) दो क्रमागत संख्याओं का एक उभयनिष्ठ गुणज उन संख्याओं का गुणनफल होता है। (ख) किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं का एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 है।
उत्तर: (क) सत्य
उदाहरणार्थ 3 और 4 का पहला उभयनिष्ठ गुणज 3 × 4 = 12 होता है
(ख) सत्य
क्योंकि दो क्रमागत संख्याओं में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ भाजक नहीं होता।

प्रश्न 8. 'शेरखान' नाम का बाघ प्रत्येक तीसरे दिन और 'बघेरा' नाम का तेंदुआ प्रत्येक पाँचवें दिन शिकार के लिए जाता है। यदि दोनों एक ही दिन से प्रारंभ करें तो वे किस दिन साथ में शिकार के लिए जाएँगे?
उत्तर: शेरखान के शिकार के दिन = 3, 6, 9, 12, 15, 18…
बघेरा के शिकार के दिन = 5, 10, 15, 20…
3 और 5 का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज = 15
उत्तर: वे दोनों 15वें दिन एक साथ शिकार के लिए जाएँगे।

प्रश्न 9. मोगली बालू के घर (संख्या 30) पहुँचना चाहता है किंतु वह शेरखान के घर (संख्या 25) को टालते हुए जाना चाहता है। उसकी प्रत्येक छलाँग कितनी लंबी (कदमों की संख्या में) होगी?
उत्तर: 30 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
इनमें 5 की छलाँग लगाने पर संख्या 25 (5 × 5) आती है
2, 3 या 6 की छलाँग लगाने पर 25 संख्या छूट जाती है (जैसे 6 की छलाँग: 0, 6, 12, 18, 24, 30)
उत्तर: मोगली को 2, 3 या 6 कदमों की छलाँग चुननी होगी।

प्रश्न 10. मोगली कितने कदमों की छलाँग चुन सकता था जिससे कि वह संख्या 21 पर विद्यमान 'का' सर्प और संख्या 35 पर विद्यमान 'अकेला' भेड़िया दोनों से मिल सके?
उत्तर: 21 के गुणनखंड = 1, 3, 7, 21
35 के गुणनखंड = 1, 5, 7, 35
21 और 35 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 7 है (7 × 3 = 21, 7 × 5 = 35)
उत्तर: मोगली को 7 कदमों की छलाँग चुननी होगी।

प्रश्न 11. दी गई संख्याओं (90, 45, 84, 22, 66, 56, 38, 78, 25, 30, 62, 95, 75, 40, 55) में से केवल 5 से विभाज्य संख्याएँ छाँटिए।
उत्तर: 5 से विभाज्य होने के लिए इकाई का अंक 0 या 5 होना चाहिए
केवल 5 से विभाज्य (जो 2 से विभाज्य न हों अर्थात् अंत में 5 हो) संख्याएँ हैं: 45, 25, 95, 75, 55
उत्तर: 45, 25, 95, 75, 55।

प्रश्न 12. दी गई संख्याओं (90, 45, 84, 22, 66, 56, 38, 78, 25, 30, 62, 95, 75, 40, 55) में से 2, 5 और 10 तीनों से विभाज्य संख्याएँ कौन-सी हैं?
उत्तर: 2, 5 और 10 तीनों से विभाज्य होने के लिए संख्या का इकाई का अंक 0 (10 का गुणज) होना आवश्यक है
दी गई संख्याओं में अंत में 0 वाली संख्याएँ हैं: 90, 30, 40
उत्तर: 90, 30, 40।

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FAQ

उभयनिष्ठ गुणज (common multiple) और उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) में क्या अंतर है?
दो या अधिक संख्याओं के समान गुणजों को उभयनिष्ठ गुणज कहते हैं (जैसे 3 और 4 का पहला उभयनिष्ठ गुणज 12 है), जबकि वह संख्या जो दो या अधिक संख्याओं को पूरा-पूरा विभाजित करे उसे उभयनिष्ठ गुणनखंड कहते हैं ।

‘शेरखान’ बाघ और ‘बाघेरा’ तेंदुआ किस दिन एक साथ शिकार पर जाएँगे?
शेरखान प्रत्येक तीसरे (3रे) दिन और बाघेरा प्रत्येक पाँचवें (5वें) दिन शिकार पर जाता है, अतः वे 3 और 5 के पहले उभयनिष्ठ गुणज यानी 15वें दिन एक साथ शिकार पर जाएँगे ।

किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं का एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड क्या होता है?
किन्हीं भी दो क्रमागत (लगातार आने वाली) संख्याओं का एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 होता है ।

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