Class 6 Maths Chapter 5 in Hindi PDF: अभाज्य समय (गणित प्रकाश)

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 5, अभाज्य समय: यह अध्याय अभाज्य संख्याओं, भाज्य संख्याओं, सार्व गुणज, गुणनखंडों, सह-अभाज्य संख्याओं और अभाज्य गुणनखंडन की अवधारणाओं को समझने के बारे में है। इसमें बच्चों द्वारा वृत्ताकार बैठकर ‘इडली-वड़ा’ खेल खेलने, जंपी और ग्रंपी के ‘जैकपॉट के लिए छलांग’ खेल, गुणता और अंशु द्वारा अंजीर पैक करने तथा खूँटियों पर धागे की कला जैसी गतिविधियों का उपयोग किया गया है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 5 (अभाज्य समय): मुख्य बिंदु

5.1 सार्व गुणज और सार्व गुणनखंड ‘इडली-वड़ा’ खेल में 3 के गुणज पर ‘इडली’, 5 के गुणज पर ‘वड़ा’ और दोनों के गुणज पर ‘इडली-वड़ा’ (जैसे 15) बोला जाता है। ‘जैकपॉट के लिए छलांग’ खेल में ग्रंपी द्वारा 24 पर रखे खजाने तक पहुँचने के लिए जंपी 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 आकार की सफल छलाँग लगाता है जो 24 के गुणनखंड हैं।

5.2 अभाज्य संख्याएँ गुणता 12 अंजीरों को अनेक आयताकार विन्यासों (जैसे 2 × 6) में रख सकता है जबकि अंशु 7 अंजीरों को केवल एक ही तरीके (7 × 1) से व्यवस्थित कर सकता है। जिन संख्याओं के केवल दो गुणनखंड (1 और स्वयं) होते हैं वे अभाज्य संख्याएँ (जैसे 2, 3, 5, 7) कहलाती हैं, और 2200 वर्ष पूर्व ग्रीक गणितज्ञ इराटोस्थेनीस ने ‘इराटोस्थेनीस की छलनी’ विधि विकसित की थी।

5.3 खजानों को सुरक्षित रखने के लिए सह-अभाज्य संख्याएँ जिन दो संख्याओं में 1 के अतिरिक्त कोई सार्व गुणनखंड नहीं होता, उन्हें सह-अभाज्य संख्याएँ कहते हैं, जैसे 4 और 9। ‘सह-अभाज्य कला’ गतिविधि में खूँटियों की संख्या और धागे के अंतर के सह-अभाज्य होने पर धागा प्रत्येक खूँटी से बँधता है।

5.4 अभाज्य गुणनखंडन किसी भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना अभाज्य गुणनखंडन कहलाता है, जैसे 56 = 2 × 2 × 2 × 7। अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके दो संख्याओं (जैसे 56 और 63) की सह-अभाज्यता तथा एक संख्या की दूसरी संख्या से विभाज्यता की जाँच बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया के की जा सकती है।

अध्याय 5 के अभ्यास

• विद्यार्थी 1 से 90 तक की संख्याओं के ‘इडली-वड़ा’ खेल में ‘इडली’ (3 के गुणज), ‘वड़ा’ (5 के गुणज) और ‘इडली-वड़ा’ (15 के गुणज) बोले जाने वाली बारंबारता ज्ञात करते हैं।
• विद्यार्थी ‘इराटोस्थेनीस की छलनी’ सारणी का उपयोग करके 1 से 100 के बीच की अभाज्य संख्याओं पर घेरा लगाते हैं और भाज्य संख्याओं को काटते हैं।
• विद्यार्थी दी गई संख्याओं जैसे 64, 105, 243 और 1728 का अभाज्य-गुणनखंडन ज्ञात करते हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 5 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. 1 से 10 तक के बीच एक संपूर्ण संख्या (Perfect Number) ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 1 से 10 के बीच संपूर्ण संख्या 6 है
6 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं
इनका योग = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 है, जो कि 6 का दुगुना है।

प्रश्न 2. 20 और 28 के उभयनिष्ठ (सार्व) गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 20 के गुणनखंड = 1, 2, 4, 5, 10, 20
28 के गुणनखंड = 1, 2, 4, 7, 14, 28
अतः 20 और 28 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।

प्रश्न 3. तीन ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 25 की गुणज हैं लेकिन 50 की नहीं।
उत्तर: 25 के विषम गुणज 50 के गुणज नहीं होते हैं
25 × 1 = 25
25 × 3 = 75
25 × 5 = 125
अतः ऐसी तीन संख्याएँ 25, 75 और 125 हैं।

प्रश्न 4. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
उत्तर: 1 से 10 तक की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 2³ × 3² × 5 × 7 = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520
अतः सबसे छोटी संख्या 2520 है।

प्रश्न 5. इनमें से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य हैं— 23, 51, 37, 26?
उत्तर: 23 और 37 केवल 1 और स्वयं से विभाजित होती हैं
51 = 3 × 17 तथा 26 = 2 × 13 भाज्य संख्याएँ हैं
अतः अभाज्य संख्याएँ 23 और 37 हैं।

प्रश्न 6. 20 से कम अभाज्य संख्याओं के ऐसे तीन युग्म लिखिए जिनका योग 5 का गुणज हो।
उत्तर: 1) 2 + 3 = 5
2) 3 + 7 = 10
3) 7 + 13 = 20
(यहाँ 2, 3, 7, 13 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं जो 20 से कम हैं)।

प्रश्न 7. 100 तक की संख्याओं में से ऐसे अभाज्य युग्म ज्ञात कीजिए जिनके अंक पलटने पर भी अभाज्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं (जैसे 13 और 31)।
उत्तर: 100 तक ऐसे अभाज्य युग्म हैं: 1) 17 और 71
2) 37 और 73
3) 79 और 97।

प्रश्न 8. 1 से 100 के बीच 7 क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए।
उत्तर: 90, 91, 92, 93, 94, 95 और 96
ये लगातार 7 भाज्य संख्याएँ हैं जिनके मध्य कोई अभाज्य संख्या नहीं है।

प्रश्न 9. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या को तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: 45, 60, 91, 105, 330?
उत्तर: अभाज्य गुणनखंडन: 45 = 3 × 3 × 5
60 = 2 × 2 × 3 × 5
91 = 7 × 13
105 = 3 × 5 × 7
330 = 2 × 3 × 5 × 11
अतः 105 को ठीक तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं (3, 5, 7) के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

प्रश्न 10. क्या 18 और 35 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं?
उत्तर: 18 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 6, 9, 18
35 के गुणनखंड = 1, 5, 7, 35
इनका केवल एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 है
अतः 18 और 35 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रश्न 11. किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में एक बार 2, दो बार 3 और एक बार 11 हो, तो वह संख्या क्या होगी?
उत्तर: संख्या = 2 × 3 × 3 × 11 = 2 × 9 × 11 = 18 × 11 = 198
अतः वह संख्या 198 है।

प्रश्न 12. 30 से छोटी ऐसी तीन अभाज्य संख्याएँ बताइए जिनका गुणनफल 1955 हो।
उत्तर: 1955 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर: 1955 = 5 × 17 × 23
5, 17 और 23 तीनों 30 से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं
अतः वे संख्याएँ 5, 17 और 23 हैं।

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FAQ

अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers) और भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers) क्या होती हैं?
जिन संख्याओं के केवल दो गुणनखंड (1 और स्वयं वह संख्या) होते हैं, उन्हें अभाज्य संख्याएँ कहते हैं (जैसे 2, 3, 5)। दो से अधिक गुणनखंड वाली संख्याओं को भाज्य संख्याएँ कहते हैं (जैसे 4, 6, 8), जबकि संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।

सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers) क्या हैं और इनकी जाँच कैसे की जाती है?
दो संख्याएँ जिनमें 1 के अतिरिक्त कोई सार्व (उभयनिष्ठ) गुणनखंड नहीं होता, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं जैसे 4 और 9। इनकी जाँच दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करके की जाती है; यदि कोई सार्व अभाज्य गुणनखंड न मिले तो वे सह-अभाज्य होती हैं।

4 और 8 से विभाज्यता की जाँच के नियम क्या हैं?
किसी संख्या की 4 से विभाज्यता जाँचने के लिए उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या देखी जाती है यदि वह 4 से विभाजित हो तो मूल संख्या भी विभाजित होती है। 8 से विभाज्यता के लिए अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या का 8 से विभाजित होना आवश्यक है।

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