Class 6 Maths Chapter 8 in Hindi PDF: रचनाओं के साथ खेलना (गणित प्रकाश)

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 8, रचनाओं के साथ खेलना: यह अध्याय रूलर (स्केल) और परकार (कंपस) का उपयोग करके वृत्त, वर्ग, आयत और विकर्णों जैसी ज्यामितीय आकृतियों के निर्माण और उनकी विशेषताओं की खोज के बारे में है। इसमें मुक्त-हस्त और उपकरणों द्वारा ‘एक व्यक्ति’, ‘तरंगित तरंग (लहर)’, ‘आँखें’ और ‘घर’ जैसी कलाकृतियों को बनाने तथा आयत एवं वर्ग की रचना करने की गतिविधियों का उपयोग किया गया है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 8 (रचनाओं के साथ खेलना): मुख्य बिंदु

8.1 कलाकृति परकार और रूलर का उपयोग करके बिंदु P से 4 सेमी की दूरी पर स्थित बिंदुओं को मिलाकर एक वृत्त बनाया जाता है, जहाँ P वृत्त का केंद्र और 4 सेमी उसकी त्रिज्या कहलाती है। इसके माध्यम से ‘एक व्यक्ति’ और AB = 8 सेमी वाले केंद्रीय रेखाखंड पर ‘तरंगित तरंग’ जैसी कलाकृतियाँ रची जाती हैं।

8.2 वर्ग और आयत आयत ABCD में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण 90° के होते हैं, जबकि वर्ग में सभी चार भुजाएँ समान और सभी कोण 90° होते हैं। डॉट पेपर पर किसी वर्ग या आयत को घुमाने पर भी उसकी भुजाओं की लंबाई और कोणों के माप नहीं बदलते, जिससे वह आकृति वर्ग या आयत ही रहती है।

8.3 वर्ग और आयत की रचना परकार और रूलर की सहायता से 6 सेमी भुजा वाले वर्ग PQRS की रचना करने के लिए बिंदु P पर 90° का लंब खींचकर 6 सेमी का चाप काटा जाता है। इसी प्रकार 6 सेमी और 4 सेमी लंबी भुजाओं वाले आयत तथा 2 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाले आयत की रचना करके उनके गुणों की जाँच की जाती है।

8.5 आयतों और वर्गों के विकर्णों की खोज करना आयत PQRS में सम्मुख शीर्षों को मिलाने वाले रेखाखंड PR और QS उसके विकर्ण कहलाते हैं जो परस्पर बराबर लंबाई के होते हैं। वर्ग की विशिष्ट स्थिति में विकर्ण सम्मुख कोणों को दो बराबर भागों (45° और 45°) में विभाजित करते हैं।

अध्याय 8 के अभ्यास

• विद्यार्थी 6 सेमी और 4 सेमी तथा 2 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाले आयतों की परकार और रूलर से रचना करके उनके गुणों की जाँच करते हैं।
• विद्यार्थी 8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाले आयत के ठीक बीचों-बीच एक वर्ग तथा 8 सेमी भुजा वाले वर्ग के अंदर वृत्ताकार छेद और वक्रों की रचना करते हैं।
• विद्यार्थी 5 सेमी भुजा वाले रेखाखंडों से ‘घर’ की आकृति बनाने के लिए परकार से 5 सेमी त्रिज्या के चाप खींचकर समदूरस्थ बिंदु A का निर्धारण करते हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 8 के प्रश्न-उत्तर (हल)

प्रश्न 1. यदि तरंगित तरंग बनाने के लिए केंद्रीय रेखाखंड AB = 8 सेमी दिया गया है, तो पहला अर्धवृत्त बनाने के लिए परकार में AX की लंबाई (त्रिज्या) कितनी होनी चाहिए?
उत्तर: केंद्रीय बिंदु X रेखाखंड AB का मध्यबिंदु है
AX = AB ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 सेमी
अतः अर्धवृत्त बनाने के लिए परकार में 4 सेमी की त्रिज्या रखनी होगी।

प्रश्न 2. आयत अथवा वर्ग के शीर्षों P, Q, R, S के लिए इनमें से कौन-सा नामकरण मान्य नहीं है: 1. PQSR 2. SPQR 3. RSPQ 4. QRSP?
उत्तर: विकल्प 1 (PQSR) मान्य नाम नहीं है
क्योंकि आयत या वर्ग का नामकरण शीर्षों के एक निरंतर चक्रीय क्रम में होना चाहिए, जबकि PQSR में क्रम टूट जाता है।

प्रश्न 3. क्या 4 भुजाओं वाली ऐसी आकृति की रचना संभव है जिसमें सभी कोण 90º के हों, परंतु सम्मुख भुजाएँ बराबर न हों?
उत्तर: नहीं, यह संभव नहीं है
यदि किसी चतुर्भुज के सभी चारों कोण 90º होते हैं, तो ज्यामितीय नियमों के अनुसार उसकी सम्मुख भुजाएँ अनिवार्य रूप से बराबर और समांतर होती हैं।

प्रश्न 4. आयत ABCD में यदि बिंदु X (भुजा AD पर) और बिंदु Y (भुजा BC पर) क्रमशः A और B से समान दूरी (5 मिमी) पर हों, तो XY की लंबाई कितनी होगी?
उत्तर: चूंकि AX = BY = 5 मिमी है, रेखाखंड XY रेखाखंड AB के समांतर और बराबर होगा
AB = 7 सेमी होने पर XY = 7 सेमी (70 मिमी) होगा।

प्रश्न 5. एक आयत ACDF को तीन समरूप वर्गों में विभाजित किया गया है। यदि वर्ग की एक भुजा AF = 4 सेमी है, तो आयत की कुल लंबाई AC क्या होगी?
उत्तर: आयत तीन समान वर्गों से मिलकर बना है
कुल लंबाई AC = 3 × वर्ग की एक भुजा = 3 × 4 सेमी = 12 सेमी।

प्रश्न 6. वर्ग की भुजा s होने पर उस आयत की विमाएँ (भुजाएँ) क्या होंगी जिसे (a) दो समरूप वर्गों तथा (b) तीन समरूप वर्गों में विभाजित किया जा सकता है?
उत्तर: (a) दो समरूप वर्गों के लिए आयत की विमाएँ s तथा 2s होंगी
(b) तीन समरूप वर्गों के लिए आयत की विमाएँ s तथा 3s होंगी।

प्रश्न 7. 8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाले आयत के ठीक बीचों-बीच बनाए जाने वाले वर्ग की भुजा की लंबाई क्या होगी?
उत्तर: आयत की चौड़ाई 4 सेमी है
आयत के अंदर ठीक बीच में बनने वाले वर्ग की अधिकतम भुजा आयत की चौड़ाई के बराबर होगी
अतः वर्ग की भुजा = 4 सेमी।

प्रश्न 8. 8 सेमी भुजा वाले वर्ग की प्रत्येक भुजा पर समान रूप से उभरने वाले चाप खींचने के लिए परकार का नुकीला सिरा कहाँ रखा जाता है?
उत्तर: वर्ग की प्रत्येक भुजा पर समान चाप बनाने के लिए परकार का नुकीला सिरा वर्ग के चारों शीर्षों (कोनों) पर रखा जाता है।

प्रश्न 9. किसी आयत के दोनों विकर्णों (diagonals) की लंबाई के बीच क्या संबंध होता है?
उत्तर: आयत के दोनों विकर्ण समान लंबाई के होते हैं
अर्थात यदि आयत PQRS है तो विकर्ण PR = विकर्ण QS होता है।

प्रश्न 10. क्या किसी साधारण (अ-वर्गाकार) आयत में विकर्ण सम्मुख कोणों को दो बराबर भागों में विभाजित करता है?
उत्तर: नहीं, साधारण आयत में विकर्ण सम्मुख कोणों को दो असमान भागों (जैसे 60° और 30°) में विभाजित करता है
केवल वर्ग में विकर्ण सम्मुख कोणों को दो बराबर भागों (45° और 45°) में बाँटता है।

प्रश्न 11. यदि किसी आयत का एक विकर्ण सम्मुख कोणों को 45º और 45º के बराबर भागों में विभाजित करता है, तो उस आयत की भुजाओं के बारे में क्या निष्कर्ष निकलता है?
उत्तर: समकोण 90° के 45º और 45º में विभाजित होने से संलग्न भुजाएँ परस्पर समान हो जाती हैं
अतः वह आयत वास्तव में एक वर्ग (Square) है।

प्रश्न 12. क्या चार समान भुजाओं वाली ऐसी बंद समतल आकृति बनाना संभव है जो वर्ग न हो?
उत्तर: हाँ, ऐसी आकृति संभव है जिसे समचतुर्भुज (Rhombus) कहते हैं
इसमें चारों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं परंतु इसके आंतरिक कोण 90° के नहीं होते।

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अन्य अध्याय

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FAQ

परकार (कंपस) और रूलर की सहायता से वृत्त कैसे बनाया जाता है?
परकार की नोक और पेंसिल के बीच रूलर से निश्चित दूरी (जैसे 4 सेमी) तय करके परकार की नोक को केंद्र बिंदु पर स्थिर रखा जाता है। इसके बाद केवल पेंसिल वाले सिरे को चारों ओर घुमाने पर वृत्त और उसकी त्रिज्या प्राप्त होती है।

किसी आयत को घुमाने (rotations) पर क्या उसका आकार बदल जाता है?
किसी आयत या वर्ग को घुमाने पर उसकी भुजाओं की लंबाई और कोणों का माप (90°) अपरिवर्तित रहता है। इसलिए घुमाने के बाद भी आकृति आयत या वर्ग के सभी गुणों को संतुष्ट करती है।

आयत और वर्ग के विकर्णों में क्या समानता और अंतर होता है?
आयत और वर्ग दोनों के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं। अंतर यह है कि वर्ग के विकर्ण सम्मुख कोणों को दो बराबर भागों (45° और 45°) में बाँटते हैं, जबकि साधारण आयत में विकर्ण कोणों को असमान भागों (जैसे 60° और 30°) में विभाजित करते हैं।

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